Задание 1. В местном спортивном клубе "Ракетка" занимаются \(15\) девочек и \(10\) мальчиков. Сколько существует различных способов сформировать команду для участия в соревнованиях, если она должна состоять из двух мальчиков и двух девочек?
Задание 2. Имеются две параллельные прямые, на одной из которых расположены \(12\) точек, а на другой – \(15\) точек. Какое количество различных треугольников можно сформировать, используя эти точки?
Задание 3. В коллекции художника находится \(7\) разнообразных красок. Каким количеством способов он может выбрать \(4\) краски для своей новой картины?
Задание 4. Слово "ЭПИГРАФ" содержит несколько гласных и согласных букв. Сколько существует способов переставить буквы в этом слове так, чтобы гласные и согласные располагались в алфавитном порядке?
Задание 5. Два ученика, один из которых владеет коллекцией из \(6\) книг по математике, а другой — из \(8\), решили обменяться по три книги. Какое количество вариантов обмена доступно этим школьникам?
Задание 6. У коллекционера есть уникальное ожерелье, состоящее из \(30\) различных бусин. Каким количеством способов он может разрезать это ожерелье на \(8\) частей, при условии, что разрезы возможны только между бусинами?
Задание 7. Решил шах проверить придворного мудреца. «Вот тебе шесть шкатулок, — сказал шах, — с надписями 1, 2, 3, 4, 5, 6 на крышках. В каждой шкатулке золотая монета, которая весит ровно столько граммов, сколько написано. Ты расставляешь шкатулки как угодно в клетках прямоугольника 2×3. Потом я втайне от тебя меняю местами монеты в каких-то двух шкатулках, стоящих в соседних по стороне клетках (или ничего не меняю). Затем ты укажешь на несколько шкатулок, а я назову тебе общий вес монет в них. Если после этого правильно определишь, какие монеты я переложил, останешься при дворе. А не сможешь — прогоню вон!» Как может действовать мудрец, чтобы выдержать испытание?
Задание 8. На острове живут красные, синие и зелёные хамелеоны. 35 хамелеонов встали в круг. Через минуту все они одновременно поменяли цвет, каждый на цвет одного из своих соседей. Ещё через минуту снова все одновременно поменяли цвета на цвет одного из своих соседей. Могло ли оказаться, что каждый хамелеон побывал и красным, и синим, и зелёным?
Задание 8. В параллели 7-х классов 100 учеников, некоторые из которых дружат друг с другом. 1 сентября они организовали несколько клубов, каждый из которых основали три ученика (у каждого клуба свои). Дальше каждый день в каждый клуб вступали те ученики, кто дружил хотя бы с тремя членами клуба. К 19 февраля в клубе «Гепарды» состояли все ученики параллели. Могло ли получиться так, что в клубе «Черепахи» в этот же день состояло ровно 50 учеников?