Задание 1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры \(0\), \(1\), \(2\), если каждую цифру можно использовать сколько угодно раз?
Задание 2. Сколько различных четырёхбуквенных слов можно составить из букв \(A\), \(B\), \(C\), где каждую букву можно использовать неограниченное количество раз?
Задание 3. В кафе есть пять различных видов напитков. Сколько существует способов заказать семь напитков, при этом напитки могут повторяться?
Задание 4. Компьютерный пароль состоит из восьми символов, каждый из которых может быть либо буквой латинского алфавита (\(26\) букв), либо цифрой (\(10\) цифр). Сколько существует различных комбинаций таких паролей?
Задание 5. Сколько различных способов упорядочить буквы в слове "КУКЛА", если две буквы "К" неразличимы между собой?
Задание 6. Сколько различных последовательностей можно составить, используя буквы слова "БАЛАЛАЙКА", если буквы "А" неразличимы между собой?
Задание 7. Сколько различных способов расставить на полке \(5\) красных, \(3\) синих и \(2\) зелёных книги так, чтобы книги одного цвета стояли рядом?
Задание 8. Сколько различных слов можно получить, упорядочивая символы в строке "AAAABBBCCDDEE", так чтобы одинаковые буквы стояли рядом?
Задание 9. Сколько различных способов расставить цифры числа \(1122334455\) так, чтобы одинаковые цифры не стояли рядом?
Задание 10. Куплено несколько одинаковых книг и одинаковых тетрадей. За книги заплачено \(1072\) рубля. Сколько куплено книг, если цена одной книги более чем на \(100\) рублей превосходит цену тетради, а книг куплено на \(6\) больше, чем тетрадей? Стоимость книг и тетрадей составляет целое число рублей.
Задание 11. Возможно ли, чтобы медианы острых углов прямоугольного треугольника были перпендикулярны? Приведите пример такого треугольника или докажите, что его не существует.
Задание 12. Внешний угол при вершине \( B \) прямоугольного треугольника \( \Delta ABC \) равен \(120^\circ \), биссектриса угла \( \angle ABC \) равна \(2 \, \text{см} \). Найдите длину стороны \( AC \), если известно, что \( \angle C = 90^\circ \).
Задание 13. На стороне \( CB \) прямоугольного треугольника \( \Delta ABC \) взята точка \( P \), а на гипотенузе \( AB \) взята точка \( S \). При этом \( \angle B = 35^\circ \), \( \angle SCB = 20^\circ \), \( \angle BAP = 10^\circ \). Докажите, что треугольники \( \Delta ACP \) и \( \Delta ACS \) равнобедренные.
Задание 14. Некоторое натуральное число разложили на простые множители:
\(n = p_1 \times p_2^{2} \times p_3^{3}\times p_4^{4}\times p_5^{5}\times p_6^{6}\times p_7^{7}\)
Где \( p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6, p_7 \) — различные простые числа.
Сколько различных делителей имеет данное число?
Задание 15. Некоторое натуральное число разложили на простые множители:
\(n = p_1 \times p_2^{2} \times p_3^{3}\times p_4^{4}\times \dots \times p_r^{k_r}\)
где - \( p_1, p_2, \dots, p_r \) — различные простые числа.
Сколько различных делителей имеет данное число?
Задание 16. Рассмотрим выражение \((1+x)^{12}\).
Не раскрывая скобки и используя комбинаторные правила, определите, сколько слагаемых (одночленов) получится, если бы мы возвели выражение в двенадцатую степень.
Задание 17. Рассмотрим выражение \((a+b)^{12}\).
Не раскрывая скобки и используя комбинаторные правила, определите, сколько слагаемых (одночленов) получится, если бы мы возвели выражение в двенадцатую степень.
Задание 18. Упростите выражение, не вычисляя каждое число сочетаний отдельно:
\(C_{2024}^0+C_{2024}^1+C4_{2024}^2+C_{2024}^3+C_{2024}^4+...+C_{2024}^{2023}+C_{2024}^{2024}=?\)