Задание 1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить, используя цифры \(1\), \(1\), \(2\),\(2\), если каждую цифру можно использовать сколько угодно раз?
Задание 2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить, используя цифры \(0\), \(0\), \(2\),\(2\), если каждую цифру можно использовать сколько угодно раз?
Задание 3. Сколько различных последовательностей можно составить, используя буквы слова "KKKKTT", если буквы "K" и "T" неразличимы между собой?
Задание 4. Сколько различных способов расставить на полке \(4\) красных, \(4\) синих и \(2\) зелёных книги так, чтобы книги одного цвета стояли рядом? Рассмотрите два случая (когда книги одного цвета различимы, а также случай когда неразличимы).
Задание 5 . Рассмотрим выражение \((a+b)^{2024}\).
а) Не раскрывая скобки и используя комбинаторные правила, определите, сколько слагаемых (одночленов) получится, если бы мы возвели выражение в 2024-ую степень.
b) Не раскрывая скобки и используя комбинаторные правила, определите, сколько слагаемых (одночленов) будет вида \(a^{1000}\cdot b^{1024}\). (достаточно записать формулу, которая позволит это вычислить)
Задание 6. Андрей коллекционирует монеты (у него в коллекции ровно 2024 монеты). Отправлясь в путешествие он думает - взять монеты или не взять. Если он решится взять, то ему нужно определиться - сколько именно монет взять и какие именно. Сколько различных вариантов у него есть сделать выбор? (нужно учесть, что монеты разные). Сделайте задачу двумя различными способами. В ответ нужно записать формулу, которая позволит рассчитать нужное количество монет.
Задание 7. (такое задание было, но может будут новые идеи у Вас, учитывая задание 6). Упростите выражение, не вычисляя каждое число сочетаний отдельно:
\(C_{2024}^0+C_{2024}^1+C4_{2024}^2+C_{2024}^3+C_{2024}^4+...+C_{2024}^{2023}+C_{2024}^{2024}=?\)
Задание 8. Длины сторон треугольника – последовательные натуральные числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что одна из его медиан перпендикулярна одной из его биссектрис.
Задание 9. Квадраты со сторонами 11 и 14 пересекаются. При удалении из квадратов их общей части получаются две области. Вычислите разность их площадей.
Задание 10. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилось на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?