Пробный вариант профильного ЕГЭ.

Задание 1. От прямой линии, проходящей через точки пересечения медиан и биссектрис тупоугольного треугольника, двумя его сторонами отсекается отрезок длиной на $1\, \text{см}$ меньше, чем одна из длин сторон данного треугольника. Найдите наименьшую из возможных длин сторон этого треугольника, если их длины выражаются натуральными числами (в $\, \text{см}$) и образуют арифметическую прогрессию.

Задание 2. В треугольнике $ ABC $ с отношением сторон $ AB : AC = 5 : 4 $ биссектриса угла $ BAC $ пересекает сторону $ BC $ в точке $ L $. Найдите длину отрезка $ AL $, если длина вектора $ 4 \cdot \overrightarrow{AB} + 5 \cdot \overrightarrow{AC} $ равна $ 2016 $.

Задание 3. На ребре $ BB_1 $ правильной треугольной призмы $ ABCA_1B_1C_1 $ выбрана точка $ Q $ так, что центр сферы, описанной около пирамиды $ QAA_1C_1 $, лежит в грани $ AA_1C_1C $. Известно, что радиус сферы, описанной около пирамиды $ QABC $, равен $ 2 $, а ребро основания призмы равно $ \sqrt{3} $. Найдите отношение объёма пирамиды $ QAA_1C_1 $ к объёму призмы.

Задание 4. Кузнечик прыгает на $10 \, \text{см}$ вправо с вероятностью $ p = 0{,}8 $ и влево с вероятностью $ q = 0{,}2 $. Какова вероятность того, что на каком-то шаге кузнечик окажется справа от исходной точки на расстоянии $10 \, \text{см}$?

Задание 5. Андрей выбирает случайным образом целое число $ a $ из отрезка $[-5; 6]$ и после этого решает уравнение \[ 3x^3 - (3a - 4)x^2 - (2a - 3)x + a + 2 = 0. \] Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых как минимум два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибается.

Задание 6. Решите уравнение \[ x + \log_2 x - \log_3 x + \log_4 x - 7 = \left( \dfrac{3}{4} - \log_3 \sqrt{2} \right) \cdot \log_2 49. \]

Задание 7. Вычислите

\[\log_2 \log_8 \sqrt{\underbrace{\sqrt{\ldots \sqrt{64}}}}_{64 \, \text{корня}}\]

Задание 8. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0=1$ и положительным направлением оси $Ox$, где $ f(x) = g(h(i(j(k(l(m(n(o(p(q(x)))))))))) $. Пусть:

$ q(x) = x^2 + 3 $
$ p(x) = \sin(\pi+x-4) $
$ o(x) = e^x $
$ n(x) = \ln(e+x - 1) $
$ m(x) = \dfrac{1}{x} $
$ l(x) = x^3 - x $
$ k(x) = \sqrt{x + 3} $
$ j(x) = \operatorname{arctg}(x) $
$ i(x) = 2\cos(x) $
$ h(x) = x^2 - 2x + 1 $
$ g(x) = 2x - 1 $

Задание 9. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $ U = U_0 \sin(\omega t + \varphi) $, где $ t $ – время в секундах, амплитуда $ U_0 = 2 \, \text{В} $, частота $ \omega = 120^\circ/\text{с} $, фаза $ \varphi = -30^\circ $. Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем $ 1 \, \text{В} $, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Задание 10. Стороны основания кирпича равны $28 \, \text{см}$ и $9 \, \text{см}$, а высота $6 \, \text{см}$. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие её скорости $v_x$ и $v_y$ связаны соотношением $ v_x^2 + 4v_y^2 = 1 $ (например, на верхней грани $ v_y = 0 \, \text{см/мин} $, поэтому $ v_x = v = 1 \, \text{см/мин} $). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?

Задание 11. Про функцию $ y = f(x) $ известно, что она определена и непрерывна на всей числовой прямой, нечётна и периодична с периодом $ 5 $, а также что $ f(-1) = f(2) = -1 $. Какое наименьшее число корней может иметь уравнение $ f(x) = 0 $ на отрезке $[1755; 2017]$?

Задание 12. Про функцию $ f(x) $ и некоторое положительное число $ c $ известно, что \[ f(x + c) = \dfrac{\sqrt{3} f(x) + 1}{\sqrt{3} - f(x)} \] при всех значениях $ x $. При каком наименьшем целом значении $ k $ из интервала $ (25; 50) $ можно утверждать, что $ f(x + kc) = f(x) $ при всех $ x $?

Задание 13. Решите уравнение \[ 9^{\arcsin(2x+1)} + \log_3 \left( 2 \arcsin(2x + 1) \right) - 3^{\arccos(6x+3)} - \log_3 \left( \arccos(6x + 3) \right) = 0. \]

а) Найдите все корни уравнения.
б) Отберите корни из отрезка $\left[ -\dfrac{43\pi}{11}, e^{2025} \right]$.

Задание 14. На рёбрах $ AC, BC, BS, AS $ правильной треугольной пирамиды $ SABC $ с вершиной $ S $ выбраны точки $ K, L, M, N $ соответственно. Известно, что точки $ K, L, M, N $ лежат в одной плоскости, причём $ KL = MN = 2 $, $ KN = LM = 18 $. В четырёхугольнике $ KLMN $ расположены две окружности $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $, причём окружность $ \Omega_1 $ касается сторон $ KN $ и $ LM $, а окружность $ \Omega_2 $ касается сторон $ KN, LM $ и $ MN $. Прямые круговые конусы $ \mathcal{F}_1 $ и $ \mathcal{F}_2 $ с основаниями $ \Omega_1 $ и $ \Omega_2 $ соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина $ P $ конуса $ \mathcal{F}_1 $ лежит на ребре $ AB $, а вершина $ Q $ конуса $ \mathcal{F}_2 $ лежит на ребре $ CS $.

а) Найдите $ \angle SAB $.
б) Найдите длину отрезка $ CQ $.

Задание 15. Найдите все решения неравенства \[ \left( \log_{\pi/6} (2x - 5) - \log_{\pi/6} (7 - 2x) \right) \left( \cos \left( x + \dfrac{7}{4} \right) - \cos (2x - 1) \right) \left( |x - 4| - |2x - 5| \right) \geq 0. \]

Задание 16. Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.

Задание 17.

а) Пусть $ X $ — такая точка внутри треугольника $ ABC $, что

$ XA \cdot BC = XB \cdot AC = XC \cdot AB; $

$ I_1, I_2, I_3 $ — центры вписанных окружностей треугольников $ XBC, XCA $ и $ XAB $ соответственно. Докажите, что прямые $ AI_1, BI_2 $ и $ CI_3 $ пересекаются в одной точке.
б) Дан фиксированный треугольник $ ABC $. Пусть $ D $ — произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в $ D $, проходящая через $ A $, пересекает вторично прямые $ AB $ и $ AC $ в точках $ A_b $ и $ A_c $ соответственно. Аналогично определяются точки $ B_a, B_c, C_a $ и $ C_b $. Точку $ D $ назовём хорошей, если точки $ A_b, A_c, B_a, B_c, C_a $ и $ C_b $ лежат на одной окружности. Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника $ ABC $?

Задание 18. Найдите все значения параметра $ a $, при каждом из которых уравнение

\[ \operatorname{arctg} \left( (3a - 1) \sin^2 x - (3a^3 - a^2 + 3a - 1) \sin x + \operatorname{tg}(ax - a\pi) \right) - ax + a\pi = 0 \]

имеет ровно три решения.

Задание 19.

а) Последовательность $ a_1, a_2, \ldots, a_{2022} $ такова, что $ a_n - a_k \geq n^3 - k^3 $ для любых $ n $ и $ k $ таких, что $ 1 \leq n \leq 2022 $ и $ 1 \leq k \leq 2022 $. При этом $ a_{1011} = 0 $. Какие значения может принимать $ a_{2022} $?
б) Произведение цифр натурального числа $ n $ равно $ x $, а произведение цифр числа $ n + 1 $ равно $ y $. Может ли оказаться, что произведение цифр некоторого натурального числа $ m $ равно $ y - 1 $, а произведение цифр числа $ m + 1 $ равно $ x - 1 $?
в) В вершинах правильного $100$-угольника поставили $100$ фишек, на которых нанесены номера $1, 2, \ldots, 100$, именно в таком порядке по часовой стрелке. За один ход разрешается поменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, при условии, что номера этих фишек различаются не более чем на $ k $. При каком наименьшем $ k $ серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка передвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?