Задание 1. В четырёхугольник \( ABCD \) вписана окружность, \( AB = 10 \), \( CD = 16 \). Найдите периметр четырёхугольника \( ABCD \).
Задание 2. Даны векторы \( \vec{a}(3; -2) \) и \( \vec{b}(0; 1) \). Найдите \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).
Задание 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины \( A, B, C, B_1 \) правильной треугольной призмы \( ABC A_1 B_1 C_1 \), площадь основания которой равна \( 3 \), а боковое ребро равно \( 8 \).
Задание 4. В сборнике билетов по математике \( 52 \) билета, в тринадцати из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Логарифмы».
Задание 5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна \( 0.4 \). Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Задание 6. Найдите корень уравнения \( \left(\dfrac{1}{2}\right)^{6-2x}=4 \).
Задание 7. Найдите значение выражения \( 2\sqrt{3} \cos^2 \dfrac{13\pi}{12} - \sqrt{3} \).
Задание 8. На рисунке изображён график \( y = f'(x) \) — производной функции \( f(x) \), определённой на интервале \( (-4; 7) \). В какой точке отрезка \([-2; 3]\) функция \( f(x) \) принимает наибольшее значение?
Задание 9. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \( P = \sigma S T^4 \), где \( P \) — мощность излучения звезды (в Ваттах), \( \sigma = 5.7 \cdot 10^{-8} \dfrac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \) — постоянная, \( S \) — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а \( T \) — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \( \dfrac{1}{729} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2 \), а мощность её излучения равна \( 5.13 \cdot 10^{25} \, \text{Вт} \). Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.
Задание 10. Аня и Таня, работая вместе, пропалывают грядку за \( 6 \) минут, а одна Таня — за \( 24 \) минуты. За сколько минут пропалывает эту грядку одна Аня?
Задание 11. На рисунке изображён график функции \( f(x) = a^x \). Найдите \( f(4) \).
Задание 12. Найдите точку минимума функции \( y = 5x - \ln(x - 7) \).
Задание 13.
a) Решите уравнение \(\sin 2x - \cos(\pi - x) = 0 \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[ -\dfrac{7\pi}{2} ; -2\pi \right] \).
Задание 14.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды \( S ABCD \) с основанием \( ABCD \) равны \( 10 \). Точка \( O \) — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой \( SA \) и проходящая через точку \( O \), пересекает рёбра \( SC \) и \( SD \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно. Точка \( N \) делит ребро \( SD \) в отношении \( SN : ND = 2 : 3 \).
a) Докажите, что точка \( M \) — середина ребра \( SC \).
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость \( OMN \) пересекает грань \( SBC \).
Задание 15. Решите неравенство: \(\;\;3^x - 8 - \dfrac{2 \cdot 3^{x+1} - 19}{9^x - 5 \cdot 3^x + 6} \leqslant \dfrac{1}{3^x - 3} \).
Задание 16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
Задание 17. Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 3\) и \(BC = DE = 4\).
a) Докажите, что \(AC = CE\).
б) Найдите длину диагонали \(BE\), если \(AD = 6\).
Задание 18. Найдите все значения параметра \( a \), при каждом из которых система уравнений \( \begin{cases} x + y = a, \\ |y| = |x^2 - 2x| \end{cases} \) имеет \( 2 \) решения.
Задание 19. В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна \( 20 \) тонн или \( 40 \) тонн. В некоторых из этих контейнеров находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет \( 40\% \) от общего количества контейнеров.
a) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить \( 50\% \) от общей массы всех контейнеров?
б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составить \( 60\% \) от общей массы всех контейнеров?
в) Какую наименьшую долю (в процентах) может составить масса контейнеров с сахарным песком от общей массы всех контейнеров?