Задача 1. Для треугольника \( XYZ \), у которого углы \( Z \) и \( Y \) равны \( 65^\circ \) и \( 85^\circ \) соответственно, необходимо определить длину стороны \( YZ \). Известно, что радиус \( 14 \) описывает окружность вокруг треугольника \( XYZ \).
Задача 2. Если в параллелограмме \( EFGH \) биссектриса угла \( E \) пересекает сторону \( FG \) в точке \( L \) и \( FL = 12 \), \( LG = 16 \), каков периметр параллелограмма?
Задача 3. Учитывая, что две окружности с центрами в точках \( O \) и \( P \) пересекаются в точках \( U \) и \( V \), и точки \( O \) и \( P \) находятся по одну сторону от прямой \( UV \), нужно доказать перпендикулярность прямых \( OP \) и \( UV \).
Задача 4. Определите периметр параллелограмма \( MNPO \), если биссектриса угла \( M \) пересекает сторону \( NP \) в точке \( Q \) и известно, что \( NQ = 11 \) и \( QP = 20 \).
Задача 5. Две окружности с центрами в точках \( R \) и \( S \) пересекаются в точках \( C \) и \( D \), при этом точки \( R \) и \( S \) находятся по одну сторону от прямой \( CD \). Нужно доказать, что прямые \( CD \) и \( RS \) являются перпендикулярными.
Задача 6. В треугольнике \( EFG \), где прямая, параллельная стороне \( EF \), пересекает стороны \( EG \) и \( GF \) в точках \( V \) и \( W \) соответственно, найдите \( GW \), если \( VW = 16 \), \( EF = 20 \), \( WF = 15 \).
Задача 7. В четырёхугольнике \( IJKL \), около которого можно описать окружность, продолжения сторон \( IJ \) и \( KL \) пересекаются в точке \( T \). Доказать, что треугольники \( JKT \) и \( LIT \) имеют подобие.
Задача 8. Рассмотрим некоторую равнобедренную трапецию \(EFGH\), у которой большее основание \(EH\). Биссектриса угла \(E\) пересекает боковую сторону \(HG\) в точке \(M\), а биссектриса угла \(G\) пересекает основание \(EH\) в точке \(T\). Отрезки \(GT\) и \(EM\) пересекаются в точке \(R\). Известно, что \(\angle ERG = 150^\circ\). Найдите длину отрезка \(RM\), если известно, что длина отрезка \(RG\) равна \(12\sqrt{3}\).
Задача 9. Для ромба \( ABCD \), в котором точка \( X \) является серединой стороны \( BC \) и где \( AX \) равна \( DX \), необходимо доказать, что данный ромб является квадратом.
Задача 10. Определите длину хорды \( GH \) для окружности, в которой отрезки \( EF \) и \( GH \) являются хордами, если \( EF = 16 \) и расстояния от центра окружности до хорд \( EF \) и \( GH \) равны \( 15 \) и \( 8 \) соответственно.
Задача 11. В параллелограмме \( RSTU \), где сторона \( ST \) в два раза длиннее стороны \( RS \) и точка \( V \) является серединой \( ST \), докажите, что \( RV \) делит угол \( URS \) пополам.