1. Найдите вектор, перпендикулярный вектору \(\vec{a} = (2, -5)\) и имеющий такую же длину.
2. Найдите вектор, перпендикулярный вектору \(\vec{b} = (-3, 7)\) и имеющий такую же длину.
3. Найдите длину вектора \(\vec{c} = (8, -1)\) используя скалярное произведение.
4. Найдите длину вектора \(\vec{d} = (-4, 6)\) используя скалярное произведение.
5. Как изменится скалярное произведение векторов \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\), если вектор \(\vec{e}\) умножить на \(-2\)?
6. Как изменится скалярное произведение векторов \(\vec{g}\) и \(\vec{h}\), если вектор \(\vec{h}\) умножить на \(-3\)?
7. Вектор \(\vec{i} = 3\vec{a} + 2\vec{b}\), найдите \(\vec{i}\), если \(\vec{a} = (1, -3)\) и \(\vec{b} = (-2, 4)\).
8. Вектор \(\vec{j} = 4\vec{c} - \vec{d}\), найдите \(\vec{j}\), если \(\vec{c} = (-5, 2)\) и \(\vec{d} = (3, -6)\)
9. Вектор \(\vec{p} = 4\vec{a} + 2\vec{b}\), а \(\vec{q} = 4\vec{a} - \vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot \vec{q}\), если \(\vec{a}\cdot \vec{b} = 4 \), при этом \(|\vec{a}|=12\) и \(|\vec{b}|=5\)
10. Вектор \(\vec{p} = \vec{a} - \vec{b}\), а \(\vec{q} = 4\vec{a} - \vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), если \(\vec{a}\cdot \vec{b} = 8 \), при этом \(|\vec{a}|=3\) и \(|\vec{b}|=4\)
11. Вектор \(\vec{p} = 10\vec{a} + \vec{b}\), а \(\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), если угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 120 градусов, при этом \(|\vec{a}|=11\) и \(|\vec{b}|=10\)
12. Пусть даны три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\), через которые выражены векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) следующим образом: \(\vec{x} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\), при этом \(\vec{y} = 4\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{x} \cdot \vec{y}\), если известно, что угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60 градусов, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) равен 90 градусов, при этом векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) перпендикулярны. Длины векторов заданы следующим образом: \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 3\), и \(|\vec{c}| = 4\).