1. Найдите вектор, перпендикулярный вектору \(\vec{a} = (12, -5)\) и имеющий такую же длину.
2. Найдите вектор, перпендикулярный вектору \(\vec{b} = (-6, 8)\) и имеющий такую же длину.
3. Найдите длину вектора \(\vec{c} = (-12, 5)\) используя скалярное произведение.
4. Найдите длину вектора \(\vec{d} = (24, -10)\) используя скалярное произведение.
5. Вектор \(\vec{p} = \vec{a} - 2\vec{b}\), а \(\vec{q} = 2\vec{a} - 5\vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot \vec{q}\), если \(\vec{a}\cdot \vec{b} = 20 \), при этом \(|\vec{a}|=12\) и \(|\vec{b}|=5\)
6. Вектор \(\vec{p} = 4\vec{a} +2\vec{b}\), а \(\vec{q} = 5\vec{a} - \vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), если \(\vec{a}\cdot \vec{b} = 7 \), при этом \(|\vec{a}|=3\) и \(|\vec{b}|=4\)
7. Вектор \(\vec{p} = 2\vec{a} + 5\vec{b}\), а \(\vec{q} = 2\vec{a} - 4\vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), если угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 120 градусов, при этом \(|\vec{a}|=12\) и \(|\vec{b}|=10\)
8. Пусть даны три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\), через которые выражены векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) следующим образом: \(\vec{x} = 2\vec{a} - 3\vec{b} + \vec{c}\), при этом \(\vec{y} = 4\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{x} \cdot \vec{y}\), если известно, что угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60 градусов, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) равен 90 градусов, а угол между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равен 45 градусов. Длины векторов заданы следующим образом: \(|\vec{a}| = 5\), \(|\vec{b}| = 3\), и \(|\vec{c}| = 4\).
9. Даны векторы \(\vec{a} = \vec{i} + 2\vec{j}\) и \(\vec{b} = 3\vec{i} - \vec{j}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и угол между векторами.
10. Если вектор \(\vec{c} = 4\vec{i} + \vec{j}\), а вектор \(\vec{d} = 5\vec{i} -2 \vec{j}\). Определите, являются ли векторы ортогональными (ортогональные = перпрендикулярные).
11. Вектор \(\vec{m} = 2\vec{i} - 2\vec{j}\), а вектор \(\vec{n} = 5\vec{i} + 5\vec{j}\). Будут ли эти векторы коллинеарны?
12. Если \(\vec{p} = 7\vec{i} - 3\vec{j}\) и \(\vec{q} = -2\vec{i} + 9\vec{j}\), найдите скалярное произведение \(\vec{p} \cdot \vec{q}\) и определите длину вектора \(\vec{p} + \vec{q}\).
13. Даны векторы \(\vec{r} = x\vec{i} - 5\vec{j}\) и \(\vec{s} = 4\vec{i} + \vec{j}\). Вычислите \(\vec{r} \cdot \vec{s}\) и найдите, при каком условии векторы \(\vec{r}\) и \(\vec{s}\) будут перпендикулярны.
14. Вектор \(\vec{p} = (4;5)\), Найдите скалярное произедение векторов \( \vec{q} =\vec{p} +3\vec{i} -3\vec{j} \) и \( \vec{f} = 5\vec{i} - \vec{p} +3\vec{j} \)
15. Вектор \(\vec{p} = (x;5)\), Найдите значение \(x\), при котором векторы \( \vec{q} =\vec{p} +3\vec{i} -3\vec{j} \) и \( \vec{f} = 5\vec{i} - \vec{p} +3\vec{j} \) будут ортогональными (ортогональные = перпендикулярные).