1. Вектор \(\vec{p} = 4\vec{a} + 5\vec{b}\), а \(\vec{q} = 3\vec{a} - 5\vec{b}\), найдите \(\vec{p}\cdot\vec{q}\), если угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 90 градусов, при этом \(|\vec{a}|=12\) и \(|\vec{b}|=10\)
2. Пусть даны три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), и \(\vec{c}\), через которые выражены векторы \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\) следующим образом: \(\vec{x} = 5\vec{a} - \vec{b} + 2\vec{c}\), при этом \(\vec{y} = \vec{b} - 2\vec{c}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{x} \cdot \vec{y}\), если известно, что угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 90 градусов, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) равен 90 градусов, а угол между векторами \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равен 120 градусов. Длины векторов заданы следующим образом: \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 4\), и \(|\vec{c}| = 7\).
3. Даны векторы \(\vec{a} = 4\vec{i} + 2\vec{j}\) и \(\vec{b} = 5\vec{i} - \vec{j}\). Найдите скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) и косинус угла между векторами.
4. Если вектор \(\vec{c} = 5\vec{i} + 2\vec{j}\). Определите, являются ли векторы ортогональными (ортогональные = перпрендикулярные).
5. Вектор \(\vec{m} = 2\vec{i} - 2\vec{j}\), а вектор \(\vec{n} = 5\vec{i} + 5\vec{j}\). Будут ли эти векторы коллинеарны?
6. Если \(\vec{p} = 7\vec{i} - 3\vec{j}\) и \(\vec{q} = -2\vec{i} + 9\vec{j}\), найдите скалярное произведение \(\vec{p} \cdot \vec{q}\) и определите длину вектора \(\vec{p} + \vec{q}\).
7. Даны векторы \(\vec{r} = x\vec{i} - 5\vec{j}\) и \(\vec{s} = 4\vec{i} + \vec{j}\). Вычислите \(\vec{r} \cdot \vec{s}\) и найдите, при каком условии векторы \(\vec{r}\) и \(\vec{s}\) будут перпендикулярны.
8. Вектор \(\vec{p} = (4;5)\), Найдите скалярное произедение векторов \( \vec{q} =\vec{p} +3\vec{i} -3\vec{j} \) и \( \vec{f} = 5\vec{i} - \vec{p} +3\vec{j} \)