Задание 1. В одном из проектов архитектурного бюро "СтройДизайн" рассматривалась задача, которая связана с параллелограммом, в который была вписана окружность. Известно, что его сторона имеет длину \(8\). Каков оказался периметр этого параллелограмма?
Задание 2. В следующем проекте бюро анализировалась задача, связанная с трапецией, в которую вписана окружность. Оказалось, что сумма длин её боковых сторон составляла \(40\). Какова длина средней линии этой трапеции.
Задание 3. В задании бюро "СтройДизайн" рассматривался треугольник \(\Delta MON\) с углами при вершинах \( M \) и \( O \), равными \(100^\circ\) и \(35^\circ\) соответственно. Известно также, что радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен \(8\sqrt{2}\). Вопрос стоял в том, чтобы найти длину стороны \( OM \). Чему равна длина этой стороны?
Задание 4. В исследовании бюро "СтройДизайн" рассматривался треугольник, описанная окружность которого была разделена на дуги с соотношением \(6:7:23\). При этом длина самой короткой стороны треугольника составляла \(20\). Задача заключалась в вычислении радиуса этой описанной окружности. Каков же должен быть радиус описанной окружности?
Задание 5. В заключительной задаче бюро "СтройДизайн" анализировалась ситуация с треугольником \( \Delta FGH \), в который была вписана окружность, касающаяся его сторон в точках \( P \), \( R \), и \( Q \). Углы этого треугольника были равны \(60^\circ\), \(70^\circ\), и \(50^\circ\). Найдите все углы треугольника \( \Delta FGH \).
Задание 6. В некотором треугольнике \(\Delta MRT\), в котором один из углов прямой, длины катетов составляют \(18\) и \(24\). Определите длину высоты, опущенной на гипотенузу этого треугольника.
Задание 7. В некотором треугольнике \(\Delta LMT\) точка \(I\) — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла \(T\) на гипотенузу \(LM\). Вычислите длину \(LT\), если \(LI = 6\), \(LM = 24\).
Задание 8. Некоторая прямая, параллельная основаниям трапеции \(LKJI\), пересекает её боковые стороны \(LK\) и \(JI\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(LJ = 42\), \(KI = 14\), \(JF:FI = 4:3\).
Задание 9. Некоторая точка \(I\) является основанием высоты \(TI\), проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике \(LMT\). Окружность с диаметром \(TI\) пересекает стороны \(LT\) и \(MT\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Найдите \(PK\), если \(TI = 14\).
Задание 10. Некоторая окружность пересекает стороны \(LT\) и \(LM\) треугольника \(LMT\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(T\) и \(M\). Найдите длину отрезка \(KP\), если \(LK = 6\), а сторона \(MT\) в \(1.5\) раза больше стороны \(KP\).