Задание 1. В одном из проектов архитектурного бюро "СтройДизайн" рассматривалась задача, которая связана с параллелограммом, в который была вписана окружность. Известно, что его сторона имеет длину \(100\). Каков оказался периметр этого параллелограмма?
Задание 2. На занятии по геометрии рассматривалась задача: в треугольнике \(LMT\) точка \(I\) — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла \(T\) на гипотенузу \(LM\). Вычислите длину \(LT\), если \(LI = 12\), \(LM = 48\).
Задание 3. В ходе олимпиады по математике участникам предложили следующее: прямая, параллельная основаниям трапеции \(LKJI\), пересекает её боковые стороны \(LK\) и \(JI\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(LJ = 63\), \(KI = 21\), \(JF:FI = 4:3\).
Задание 4. Во время школьного конкурса по геометрии была задача: точка \(I\) является основанием высоты \(TI\), проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике \(LMT\). Окружность с диаметром \(TI\) пересекает стороны \(LT\) и \(MT\) в точках \(P\) и \(K\) соответственно. Найдите \(PK\), если \(TI = 20\).
Задание 5. На уроке математики учителя предложили решить задачу: окружность пересекает стороны \(LT\) и \(LM\) треугольника \(LMT\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(T\) и \(M\). Найдите длину отрезка \(KP\), если \(LK = 10\), а сторона \(MT\) в \(1.5\) раза больше стороны \(KP\).
Задание 6. В рамках курса по геометрии изучаются свойства параллельных прямых. Отрезки \( FT \) и \( LP \), расположенны на параллельных прямых, а также известно, что отрезки \( FL \) и \( TP \) пересекаются в точке \( N \). Известны также длины некоторых отрезков: \( FT = 14 \), \( LP = 42 \), \( FL = 52 \). Определите длину отрезка \( NL \).
Задание 7. В задаче по геометрии требуется найти длину \( FL \) в треугольнике \( FLC \), где прямая, параллельная стороне \( FL \), пересекает \( FC \) и \( LC \) в точках \( R \) и \( N \) соответственно. Известно, что \( \dfrac{RC}{FR} = 3 \) и \( RN = 18 \).
Задание 8. В контексте изучения свойств параллелограммов, рассмотрите параллелограмм \( FLCD \), где биссектриса угла \( F \) пересекает \( LC \) в точке \( R \). Необходимо вычислить периметр ( FLCD \), учитывая \( LR = 7 \), \( RC = 12 \).
Задание 9. Рассмотрите паралеллограмм \( FLCP \), где биссектрисы углов \( F \) и \( P \) пересекаются в точке \( T \) на стороне \( LC \). Найдите \( LT \), при условии что \( LC = 44 \).
Задание 10. Рассмотрите паралеллограмм \( FLCP \), где биссектрисы углов \( F \) и \( L \) пересекаются в точке \( T \), которая оказалась внутри параллелограмма. Найдите \( LT \), при условии что \( FL = 26 \), а \( FT = 24 \)
Задание 11. На средней линии некоторой трапеции \( FLCD \) с основаниями \( FD \) и \( LC \) выбрана случайная точка \( G \). Докажите, что сумма площадей треугольников \( LGC \) и \( FGD \) составляет половину площади всей трапеции.
Задание 12. В рамках изучения свойств вписанных четырёхугольников анализируется \( FLCD \), около которого можно описать окружность. Продолжения сторон \( FL \) и \( CD \) пересекаются в точке \( A \). Докажите, что треугольники \( ALC \) и \( AFD \) являются подобными.