Задание 1. В одном из проектов архитектурного бюро "СтройДизайн" рассматривалась задача, которая связана с параллелограммом (про ромб не было речи в условии(, в который была вписана окружность. Известна информация про длину одной из сторон параллелограмма, она равна \(222\). Каков оказался периметр этого параллелограмма? Не забудьте, что нужно доказать некоторое утверждение в процессе решения.
Задание 2. На занятии по геометрии рассматривалась задача: в треугольнике \(LMT\) точка \(I\) — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла \(T\) на гипотенузу \(LM\). Вычислите длину \(LT\), если \(LI = 120\), \(LM = 480\).
Задание 3. В ходе олимпиады по математике участникам предложили следующее: прямая, параллельная основаниям трапеции \(LKJI\), пересекает её боковые стороны \(LK\) и \(JI\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Найдите длину отрезка \(EF\), если \(LJ = 315\), \(KI = 105\), \(JF:FI = 4:3\).
Задание 4. На уроке математики учителя предложили решить задачу: окружность пересекает стороны \(LT\) и \(LM\) треугольника \(LMT\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно и проходит через вершины \(T\) и \(M\). Найдите длину отрезка \(KP\), если \(LK = 40\), а сторона \(MT\) в \(1.5\) раза больше стороны \(KP\). При решении задачи необходимо доказать подобие некоторых треугольников.
Задание 5. В задаче о параллелограмме \( FLCD \), где биссектрисы углов \( F \) и \( Z \) пересекаются на стороне \( LC \), требуется вычислить \( FT \), при условии что \( LC = 88 \).
Задание 6. Параллельно основаниям \( FD \) и \( LC \) трапеции \( FLCD \) провели прямую \(a\), пересекающую боковые стороны трапеции. На этой прямой случайным образом выбрали точку \( T \), докажите, что сумма площадей треугольников \( LTC \) и \( FTD \) составляет половину площади всей трапеции.
Задание 7. В прямоугольном треугольнике \( FLC \) провели высоту \( LH \) из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник \( FLC \) будет подобен каждому из двух треугольников, на которые разбивает данная высота исходный треугольник. Будут ли подобные все три треугольника?
Задание 8. Параллельно основаниям \( FD \) и \( LC \) трапеции \( FLCD \) провели прямую \(a\), пересекающую боковые стороны трапеции в точках\( K \) и \(T\). Одна из боковых сторон разделилась в отношении \(2:1\). Диагональ \(FC\) пересекает прямую \(a\) в точке \(\Xi\). В каком соотношении эта точка разбила диагональ трапеции. P.S. Нужно не только написать ответ, а еще и обосновать его)
Задание 9. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 10. Найдите длину гипотенузы.
Задание 10. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Задание 11. Биссектрисы углов \( B \) и \( C \) трапеции \( ABCD \) пересекаются в точке \( O \), лежащей на стороне \( AD \). Докажите, что точка \( O \) равноудалена от прямых \( AB \), \( BC \) и \( CD \).