1. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.
2. В треугольнике \( ABC \) медиана \( AM \) продолжена за точку \( M \) на расстояние, равное \( AM \). Найдите расстояние от полученной точки до вершин \( B \) и \( C \), если \( AB = c \), \( AC = b \).
3. Две различные окружности пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, делит отрезок \( AB \) пополам и перпендикулярна ему.
4. Точки \( M \) и \( N \) — середины равных сторон \( AD \) и \( BC \) четырехугольника \( ABCD \). Серединные перпендикуляры к сторонам \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( P \). Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку \( MN \) проходит через точку \( P \).
5. Биссектрисы \( BB_1 \) и \( CC_1 \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( M \), биссектрисы \( B_1B_2 \) и \( C_1C_2 \) треугольника \( AB_1C_1 \) пересекаются в точке \( N \). Докажите, что точки \( A \), \( M \) и \( N \) лежат на одной прямой.
6. Треугольник \( ABC \) — равнобедренный ( \( AB = BC \) ). Отрезок \( AM \) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \( AB \) и \( MC \). Найдите угол \( B \).
7. Прямая пересекает боковую сторону \( AC \), основание \( BC \) и продолжение боковой стороны \( AB \) равнобедренного треугольника \( ABC \) за точку \( B \) в точках \( K \), \( L \) и \( M \) соответственно. При этом треугольники \( CKL \) и \( BML \) получаются также равнобедренными. Найдите их углы.
8. Равные отрезки \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( O \) и делятся ею в отношении \( AO : OB = CO : OD = 1 : 2 \). Прямые \( AD \) и \( BC \) пересекаются в точке \( M \). Докажите, что треугольник \( DMB \) равнобедренный.