Задача 1. Две окружности с центрами в точках \( O \) и \( P \) пересекаются в точках \( U \) и \( V \), и точки \( O \) и \( P \) находятся по одну сторону от прямой \( UV \). Докажите перпендикулярность прямых \( OP \) и \( UV \).
Задача 2. На продолжениях гипотенузы \( AB \) прямоугольного треугольника \( ABC \) за точки \( A \) и \( B \) соответственно взяты точки \( K \) и \( M \), причем \( AK = AC \) и \( BM = BC \). Найдите угол \( MCK \).
Задача 3. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) на гипотенузе \( AB \) взяты точки \( K \) и \( M \), причем \( AK = AC \) и \( BM = BC \). Найдите угол \( MCK \).
Задача 4. Любой равносторонний треугольник будем называть правильным. На сторонах \( BC \) и \( CD \) квадрата \( ABCD \) построены внешним образом правильные треугольники \( BCK\) и \( DCL \). Докажите, что треугольник \( AKL \) - правильный.
Задача 5. В треугольнике \( ABC \) отмечены середины сторон точками \( E \), \( F \), \( M \). Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника \( ABC \) будут являться высотами треугольника \( EFM \).
Задача 6. В остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( AN \), \( BE \), \( CF \). Угол \( FNB \) равен углу \( ENC \), угол \( BFN \) равен углу \( EFA \), угол \( FEA \) равен углу \( NEC \). Докажите, что точка пересечения высот треугольника \( ABC \) находится на одинаковых расстояниях от сторон треугольника \( NEF \).
Задача 7. В остроугольном треугольнике \( ABC \) проведены высоты \( BE \), \( CF \). Докажите, что можно провести окружность, которая проходит через точки \( F \), \( E \), \( B \), \( C \) с центром в середине отрезка \(BC\).
Задача 8. Торговец закупил партию книг по некоторой закупочной цене, после продал книгу со скидкой \(5\%\) от назначенной цены, при этом он получил \(14\%\) по отношениюк вложенным средствам в эту книгу. Сколько процентов к вложенным средствам планировал получить торговец при продаже книги?