1.1 Три мальчика и шесть девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \( p \) грибов, а девочки по \( q \) грибов, причём оказалось, что числа \( p \) и \( q \) простые, а в сумме дети собрали 100 грибов. Чему равняются \( p \) и \( q \)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать 100 грибов, то объясните - почему?
1.2 Четыре мальчика и шесть девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \( p \) грибов, а девочки по \( q \) грибов, а в сумме дети собрали 105 грибов. Чему равняются \( p \) и \( q \)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать 105 грибов, то объясните - почему?
1.3 Пять мальчиков и 10 девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \( p \) грибов, а девочки по \( q \) грибов, а в сумме дети собрали 99 грибов. Чему равняются \( p \) и \( q \)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать 99 грибов, то объясните - почему?
1.4 11 мальчиков и 5 девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \( p \) грибов, а девочки по \( q \) грибов, причём оказалось, что числа \( p \) и \( q \) простые, а в сумме дети собрали 120 грибов. Чему равняются \( p \) и \( q \)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать 120 грибов, то объясните - почему?
2.1 Можно ли на плоскости нарисовать пять отрезков так, чтобы каждый пересекал (по внутренним точкам) ровно три других отрезка?
2.2 Можно ли на плоскости нарисовать 6 отрезков так, чтобы каждый пересекал (по внутренним точкам) ровно 5 других отрезков?
3. Оля перемножила несколько первых четных чисел, а Макс перемножил несколько первых простых чисел. Могли ли у них получиться одинаковые результаты после умножения? (если да, то какие)
4. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) известен \( \angle B = 130^\circ \). Определите углы между прямой, содержащей высоту \( AA_1 \), и прямой, содержащей биссектрису \( BB_1 \).
5. В треугольнике \( ABC \) известен \( \angle B = 81^\circ \), \( BH \) - высота. Найдите \( \angle BAC \), если \( AH = BC + CH \).
6. Вычислите: \( \dfrac{1}{4}\cdot 5^{32} - (5 + 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1)\)
7. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с вершиной \( B \) на стороне \( BC \) взята точка \( K \) такая, что \( CA = AK = KB \). Периметр треугольника \( CAK \) равен 4, также известно, что периметр треугольника \( AKB \) равен 5. Вычислите периметр \( \Delta ABC \).