Задание 1 Докажите, что в любой футбольной команде есть два игрока, которые родились в один и тот же день недели.
Задание 2 Докажите, что среди жителей Москвы найдутся десять тысяч, празднующих день рождения в один и тот же день.
Задание 3 В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
Задание 4 Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
Задание 5. Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и самого числа. Первые два числа из этого списка - это \(5\) и \(7\). Во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?
Задание 6. Возможно ли соединить проводами 7 электронных устройств таким образом, чтобы из каждого устройства шло по 5 проводов к другим утройствам?
Задание 7. Для натурального числа \( n \) обозначим через \( S(n) \) сумму цифр числа \( n \). Найдите все решения уравнения \( n + S(n) = 2025 \)
Задание 8. В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 22^\circ \), а угол \( B \) равен \( 100^\circ \). Биссектриса угла \( C \) пересекается с высотой, проведенной из вершины \( B \), в точке \( O \). Найдите угол \( BOC \).
Задание 9.В треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AD \), а в треугольнике \( ADC \) – биссектриса \( DE \). Оказалось, что \( \angle ABD = 41^\circ \), \( DE = CD \). Найдите \( \angle BAC \).
Задание 10.Разложите на множители: \( a^4 +4 \).
Задание 11.Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?
Задание 12.Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?