Задание 1. Лягушка умеет прыгать вперед и назад. Первый прыжок она совершает на 1 шаг в какую-то из сторон, второй прыжок на 2 шага и так далее. Может ли через лягушка через 15 прыжков вернуться на место, откуда начинала прыжки?
Задание 2. Межрегиональный турнир по футболу собрал 5 команд-участниц с разных регионов: Татарстан, Чувашия, Мордовия, Нижегородская область и Кировская область. Все команды сыграли друг с другом по одному разу. Очки начисляются стандартным образом: 3 очка за победу, 1 очко за ничью, 0 очков за поражение или неявку команды. Команда из Мордовии, которая выиграла турнир, набрала 7 очков. Команда из Татарстана, которая заняла второе место, набрала 6 очков. Команды из Чувашии и Кировской области набрали по 5 очков, но команда Кировской области оказалась выше по дополнительным показателям. Команда-аутсайдер из Нижегородской области не набрала ни одного очка. Сколько матчей было сыграно вничью на турнире?
Задание 3. Дано \(n\) различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое пяти наибольших из них равно \(20\). Найдите максимальное возможное значение \(n\)
Задание 4. В загадочной стране есть села. Они соединены друг с другом автобусными маршрутами. Из каждого села идет по 3 маршрута. Известно, что всего 100 маршрутов. Сколько сел в загадочной стране?
Задание 5. В загадочной стране есть села. Они соединены друг с другом автобусными маршрутами. Из каждого села идет по 3 маршрута. Может ли в этой стране быть ровно 55 маршрутов?
Задание 6. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 40 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Задание 7. Над девятью озерами летели гуси. На каждом из них садилась половина и ещё пол-гуся. Остальные летели дальше. Сколько всего летело гусей?
Задание 8. На доске написано 100 различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна 5120. Может ли на доске быть написано число 230? Может ли быть такое, что на доске не написано число 14?
Задание 9. В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%. Могло ли в классе учиться 5 девочек?
Задание 10. По окружности расставлено 50 целых чисел, сумма которых равна 1. Сколькими способами можно выбрать из них 25 стоящих подряд чисел с положительной суммой?
Задание 11. Имеются контейнеры массой в 2 тонны и 7 тонн и корабли с грузоподъемностью в 10 тонн. Можно ли 12 контейнеров массой 7 тонн и 24 контейнера массой 2 тонны погрузить на 15 кораблей?