1. Докажите, что сумма любых трёх последовательных степеней числа 5 делится на 155.
2. Лиственницы составляют 99% всего леса. В лесу собирались вырубать только лиственницы и обещали в итоге оставить лиственниц 80% от всего леса. Но жители деревни договорились, чтобы лиственниц осталось 98% от всего леса. Сколько процентов лиственниц удалось спасти?
3. Прямоугольник двумя с помощью одного горизонтального и одного вертикального разреза разбили на 4 части. Среди полученных 4 прямоугольников выбрали два (самый большой, который разбивали - не в счет). Выбранные прямоугольники не имеют общей стороны (но имеют одну общую вершину). Сумма периметров этих двух выбранных прямоугольников равна $n$. Правда ли что, сумма периметров оставшихся прямоугольников (тех, что не выбрали) также равна $n$?
4. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Сумма квадратов этих чисел равна $A$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма их квадратов не изменится (по-прежнему будет равна $A$). Найдите сумму исходных чисел.
5. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Сумма квадратов этих чисел равна $A$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма их квадратов не изменится. Если к каждому из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ прибавить $4$, то насколько изменится сумма квадратов полученных чисел?
6. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма квадратов полученных чисел будет равна $A$.. Если к каждому из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ прибавить $4$, то сумма квадратов полученных чисел будет также равна $A$. Найдите $a_1+a_2+...+a_{144}$
7. Найдите все целые значения \( m \) такие, что выражение \( \dfrac{2m+7}{5m+11} \) принимает целые значения.
8. Является ли квадратом какого-нибудь натурального числа произведение первых 2024 простых чисел, увеличенное на 1?
9. Прямоугольник двумя с помощью одного горизонтального и одного вертикального разреза разбили на 4 части. Три из четырех полученных прямоугольников (самый большой, который разбивали не в счет) имеют площади $12,20,30$. Найдите площадь оставшегося прямоугольника, рассмотрев при этом всевозможные случаи.
10. Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?
11. Смешав 15-процентный и 95-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 20-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 30-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 15-процентного раствора использовали для получения смеси?
12. Иван случайно смешал молоко жирностью 2,5% и молоко жирностью 6%. В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью 4,6%. Сколько литров молока жирностью 2,5% было у Ивана до смешивания?
13. В треугольнике \( ABC \) с углом \( \angle C = 60^\circ \) проведены биссектрисы \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Докажите, что \( AB_1 + BA_1 = AB \).
14. В треугольнике \( KLM \) (\( \angle L = 120^\circ \)) проведены биссектрисы \( LA \) и \( KB \) углов \( KLM \) и \( LKM \) соответственно. Найдите величину угла \( \angle KBA \).
15. В треугольнике \( ABC \) с углом \( B \), равным \( 120^\circ \), проведены биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \). Найдите \( \angle C_1B_1A_1 \).
16. В треугольнике \( ABC \) на продолжении медианы \( CM \) за точку \( C \) отметили точку \( K \) так, что \( AM = CK \). Известно, что угол \( BMC \) равен \( 60^\circ \). Докажите, что \( AC = BK \).
17. В треугольнике \( ABC \) с углом \( B \) равным \( 120^\circ \) проведены биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \). Отрезок \( A_1B_1 \) пересекает биссектрису \( CC_1 \) в точке \( M \). Найдите градусную меру угла \( B_1BM \).