Задание 1. Найдите число, \(9\%\) которого составляет \( \dfrac{1}{\left(\dfrac{6^{13} \cdot 12^7 \cdot 0,25^{12} \cdot 3^7}{9^{14}} + \dfrac{2}{3}\right)^{2}} + \left( \dfrac{1}{1\dfrac{1}{9}} \right)^{2}. \)
Задание 2. Решите уравнение: \( \dfrac{2x - 3}{5} - \dfrac{1 - x}{4} + x = 3 - \dfrac{5x + 1}{20}. \)
Задание 3. Известно, что для некоторого натурального числа \( n \) дробь \( \dfrac{n - 5}{2n - 1} \) является целым числом. Чему она может быть равна?
Задание 4. В треугольнике один из углов на \(18^\circ\) больше другого, а также есть два угла, в сумме дающие \(144^\circ\). Какие могут быть углы у треугольника?
Задание 5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих уравнению \( \dfrac{\bigg(4 + x(2y - x) - y^{2}\bigg)\bigg(x^{2} + y^{2} - 2(x + y - 1)\bigg)}{3x + y + xy + 3} = 0 \).
Задание 6. В прямоугольнике \(ABCD\) на стороне \(BC\) нашлась такая точка \(X\), что \(\angle AXD = 90^\circ\) и \(\angle XAD = 2\angle CXD\). Найдите соотношение \(BX : XC\).
Задание 7. Автомобиль ехал по дороге сначала со скоростью \(90\) км/ч. Когда ему оставалось проехать на \(20\) км больше, чем он уже проехал, автомобиль увеличил скорость на \(20\%\). В результате средняя скорость на всём пути составила \(100\) км/ч. Каков был весь путь?
Задание 8. В колбе находилось неизвестное количество процентов раствора объёмом \(10\) л. Оказалось, что если вылить в раковину \(7\) литров раствора и добавить в колбу с раствором \(7\) литров воды, тщательно размешать, а затем повторить операцию, то получится \(8,1\%\) раствор кислоты. Сколько процентов кислоты было в изначальном растворе?
Задание 9. Есть \(12\) сосисок длиной \(X\) см каждая. Их требуется разделить между \(X\) котятами, \(X\) кошками и \(X\) котами так, чтобы каждому котёнку достался кусок сосиски длиной \(3\) см, каждой кошке — кусок сосиски длиной \(4\) см, а каждому коту — кусок сосиски длиной \(5\) см. Можно ли это сделать, если а) \(X = 14\); б) \(X = 11\)?
Задание 10. Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) треугольника \(ABC\). На отрезке \(AC\) нашлась такая точка \(D\), что \(DM\) и \(BC\) перпендикулярны. Отрезки \(AM\) и \(BD\) пересекаются в точке \(X\). Оказалось, что \(AC = 2BX\). Докажите, что \(X\) — середина отрезка \(AM\).