Задание 1. Известно, что для некоторого натурального \( n \) дробь \( \dfrac{n - 1}{2n - 5} \) — целая. Чему она может быть равна?
Задание 2. Найдите множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \dfrac{4 - x(2y + x)-y^2}{(2x - 2y + xy - 4)(x^2 + y^2 - 2(x + y - 1))} = 0. \]
Задание 3. В прямоугольнике \( ABCD \) на стороне \( BC \) нашлась такая точка \( X \), что \( \angle XAD = \angle XDC = 60^\circ \). Известно, что \( XC = 30 \). Найдите \( XM \), где \( M \) — середина \( AD \).
Задание 4. В колбе находилось неизвестное количество процентов раствора объёмом \( 10 \) л. Оказалось, что если отлить \( 6 \) литров раствора и влить \( 6 \) литров воды, тщательно размешать, а потом повторить операцию, то получится \( 6,4\% \) раствор кислоты. Сколько процентов кислоты было в изначальном растворе?
Задание 5. Имеется \( 10 \) сосисок длиной \( X \) см каждая. Их требуется разделить между \( X \) котятами, \( X \) кошками и \( X \) котами так, чтобы каждому котёнку достался кусок сосиски длиной \( 2 \) см, каждой кошке — кусок сосиски длиной \( 3 \) см, а каждому коту — кусок сосиски длиной \( 5 \) см. Можно ли это сделать, если: a) \( X = 14 \); б) \( X = 11 \)?
Задание 6. Дан равнобедренный треугольник \(ABC\). На продолжении боковой стороны \(BC\) за вершину \(B\) выбрана точка \(D\). \(M\) — середина основания \(AC\). Отрезок \(DM\) пересекает сторону \(AB\) в точке \(X\). Оказалось, что \(X\) — середина \(DM\). Докажите, что \(2AX = CD\).
Задание 7. В равнобедренном треугольнике \(\Delta ABC \) с вершиной \( B \) на стороне \( BC \) взята точка \( K \) такая, что \( CA = AK = KB \). Периметр треугольника \(\Delta CAK \) равен \( 4 \), периметр треугольника \(\Delta AKB \) равен \( 5 \). Вычислите периметр данного треугольника (\(\Delta ABC \)).
Задание 8. Верно ли, что треугольники \(\Delta ABC \) и \(\Delta MKR \) равны, если \( AB = 3 \), \( BC = 4 \), \( \angle C = 30^\circ \); \( MK = 3 \), \( KP = 4 \), \( \angle P = 30^\circ \)? Ответ обоснуйте.
Задание 9. Разложите на множители: \(65x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).
Задание 10. Не вычисляя, сравните: \( a = 2021 \cdot 2022 \cdot 2027 \) и \( b = 2024^3 \).