Задание 1. Известно, что для некоторого натурального \( n \) дробь \( \dfrac{4n - 1}{9n - 5} \) — целая. Чему она может быть равна, если считать исходное утверждение верным? (если утверждение не является верным - докажите это).
Задание 2. Найдите все числа вида \( \overline{6a57b} \) (где \( a \) и \( b \) — цифры), которые кратны 45.
Задание 3. Имеется сплав золота и серебра. Серебро в сплаве составляет 70%. Если бы в сплаве золота было на 10 г больше, а серебра — на 4 г меньше, серебро составляло бы 50% от общей массы этого сплава. Найдите массу первоначального сплава. В ответе напишите количество граммов.
Задание 4. Сократите дробь: \(\dfrac{x^3 + y^3 - 2x^2 - 2y^2 + 2xy}{x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4+2xy}\).
Задание 5. Прямая \( y = (2a + 1)x + a + 4 \) пересекает прямую \( y = x + 6 \) в точке \( A \), сумма координат которой равна 4. Найдите возможные значения \( a \).
Задание 6. В треугольнике \(\Delta KLM \), \( \angle L = 30^\circ \), \( \angle K = 60^\circ \). Через середину стороны \( KL \) проведена прямая \( p \), перпендикулярная \( KL \). Прямая \( p \) пересекает сторону \( LM \) в точке \( A \) и продолжение стороны \( KM \) в точке \( B \). Известно, что \( AB = 3 \). Найдите длину \( AL \).
Задание 7. Расстояние между пунктами \( A \) и \( B \) составляет \( 680 \text{ км} \). Автомобиль выехал из пункта \( B \) в направлении к \( A \) со скоростью \( 80 \text{ км/ч} \), а спустя некоторое время из пункта \( A \) в направлении к \( B \) выехал автомобиль со скоростью \( 100 \text{ км/ч} \). К моменту их встречи один из них проехал на \( 40 \text{ км} \) больше другого. На сколько часов позже выехал автомобиль из пункта \( A \) по сравнению с автомобилем, выехавшим из пункта \( B \)?
Задание 8. В равнобедренном треугольнике \( \Delta KLM \), \( \angle K = 30^\circ \), \( \angle L = 120^\circ \), \( KL = 6 \text{ см} \). Проведены высота \( MA \) данного треугольника и высота \( AB \) треугольника \( \Delta LAM \). Найдите длину \( BM \).
Задание 9. На какое наибольшее число километров может отплыть лодка от пристани против течения реки, если собственная скорость лодки \( 8 \text{ км/ч} \), скорость течения реки \( 2 \text{ км/ч} \), чтобы успеть вернуться через 4 часа?
Задание 10. Разложите на множители выражение: \( 28x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \).
Задание 11. Не вычисляя, сравните: \( a = 2023 \cdot 2024 \cdot 2028 \) и \( b = 2026^3 \).
Задание 12. Верно ли, что треугольники \(\Delta ABC \) и \(\Delta MKP \) равны, если \( AB = 5 \), \( BC = 8 \), \( \angle C = 30^\circ \), \( MK = 5 \), \( KP = 8 \), \( \angle P = 30^\circ \)? Обоснуйте ответ.