1. Вычислите: \( 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 + 5 \cdot 8 - 6 \cdot 7 + 9 \cdot 10 - 11\cdot 12 + \cdots +2021\cdot 2024 - 2022 \cdot 2023 \).
2. Квадрат \( 8 \times 8 \) разрезан по границам клеток на два многоугольника одинаковой площади. На какое наибольшее число могут отличаться периметры частей? (Многоугольник не может содержать "дырок").
3. Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и самого числа. Какие-то два числа из этого списка отличаются в \( 12 \) раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?
4. На биссектрисе угла \( ABC \) отмечена точка \( D \), а на отрезке \( BD \) выбрана точка \( E \), причём \( \angle CED = 90^\circ \) (см. рис.). Известно, что \( DE = 1 \), \( AB = 2 \), \( BE = 3 \), и \( BC = 4 \). Докажите, что треугольник \( ACD \) — равнобедренный.
5. Дан пятиугольник \( ABCDE \), в нем \( AB = DE \), \( BC = CD \), \( \angle ABC = \angle CDE \). Докажите, что \( AD \) равно \( BE \).
6. Число уменьшили на четверть, получившееся число уменьшили еще на \( 20\% \). Сколько процентов от исходного числа составляет результат?
7. Цветочный город и городок Змеевка соединены прямой дорогой. На дороге стоят Винтик и Шпунтик, между ними 1 км. Винтик ближе в Цветочному городу. Если Винтик идет пешком, то его скорость 4 км/ч, если едет на велосипеде, то его скорость – 24 км/ч. Шпунтик же бегает со скоростью 12 км/ч. Если коротышки сейчас направятся в Цветочный город, то Винтик пешком доберется туда одновременно с бегущим Шпунтиком. Если же они направятся в Змеевку, то Винтик на велосипеде доберется туда одновременно с бегущим Шпунтиком. Каково расстояние между Змеевкой и Цветочным городом?
8. Угол при основании \(AB\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(72^\circ\). Биссектриса этого угла пересекает противоположную сторону в точке \(L\).
9. Упростите выражение, раскрыв скобки: \((x^2 - 2)(x^3 + 3) - (x^2 + 2)(x^3 - 3)\).
10. Два равносторонних треугольника расположены так, как показано на чертеже. Докажите, что отрезки \(BD\) и \(CE\) равны.
11. Если Игорь выходит за 20 минут до урока и идет со скоростью 4 км/ч, то он опаздывает на 10 минут. Если бы он вышел за 10 минут, но поехал на велосипеде, то он был бы в школе ровно к началу урока. С какой скоростью Игорь едет на велосипеде?
12. Вы попали в передачу «Орел и решка», вам нужно определить, кому достанется золотая карта. Однако единственная монетка, что у вас есть, погнулась, поэтому она вносит явные искажения в результат при подбрасывании. Как использовать такую монету, чтобы принять справедливое решение? Другие предметы или монеты использовать нельзя.
13. Врач выписал вам рецепт: принимать «Антиболин» и «Выздоровин» по одной таблетке утром и вечером. При этом нельзя выпить две таблетки одного вида утром, а другие две — вечером. Вы достали четыре таблетки на день, но они перемешались и выглядят одинаково. Как выпить таблетки по указанию врача?
14. Вы попали в форт Боярд и прошли все испытания; перед вами финал. Вы стоите перед двумя дверьми. За первой клад и победа, а за второй — пустая комната и обидное поражение. Перед дверьми стоят два надзирателя. Один из них всегда лжет, второй — говорит только правду. Оба хранителя знают, в какой комнате лежит клад. Вы не знаете, кто из них лжет, и можете задать только один вопрос. Что нужно спросить, чтобы попасть в комнату с кладом?