Задание 1. Торговец продал книгу со скидкой \(10\%\) от назначенной цены и получил в результате сделки на \(20\%\) больше закупочной цены. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги? (ответ может оказаться не очень хорошим).
Задание 2. Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю \(30\%\) от назначенной цены. При этом он имел \(16\%\) убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара? (в данном случае под процентом прибыли понимается процент от закупочной цены).
Задача 3. Лиственницы составляют \(99\%\) всего леса. В лесу собирались вырубать только лиственницы и обещали в итоге оставить лиственниц $85\%$ от всего леса. Но жители деревни договорились, чтобы лиственниц осталось $94\%$ от всего леса. Сколько процентов лиственниц удалось спасти?
Задача 4. Прямоугольник двумя с помощью одного горизонтального и одного вертикального разреза разбили на 4 части. Среди полученных 4 прямоугольников выбрали два (самый большой, который разбивали - не в счет). Выбранные прямоугольники не имеют общей стороны (но имеют одну общую вершину). Сумма периметров этих двух выбранных прямоугольников равна $n$. Правда ли что, сумма периметров оставшихся прямоугольников (тех, что не выбрали) также равна $n$?
Задача 5. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Сумма квадратов этих чисел равна $A$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма их квадратов не изменится (по-прежнему будет равна $A$). Найдите сумму исходных чисел.
Задача 6. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Сумма квадратов этих чисел равна $A$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма их квадратов не изменится. Если к каждому из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ прибавить $4$, то насколько изменится сумма квадратов полученных чисел?
Задача 7. Даны 144 числа $a_1,a_2,...,a_{144}$. Если из каждого из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ вычесть $4$, то сумма квадратов полученных чисел будет равна $A$.. Если к каждому из чисел $a_1,a_2,...,a_{144}$ прибавить $4$, то сумма квадратов полученных чисел будет также равна $A$. Найдите $a_1+a_2+...+a_{144}$
Задача 8. Найдите все целые значения \( m \) такие, что выражение \( \dfrac{2m+7}{5m+11} \) принимает целые значения.
Задача 9. Является ли квадратом какого-нибудь натурального числа произведение первых 2024 простых чисел, увеличенное на 1?
Задача 10. В треугольнике \( ABC \) с углом \( \angle C = 60^\circ \) проведены биссектрисы \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Докажите, что \( AB_1 + BA_1 = AB \).
Задача 11. В треугольнике \( KLM \) (\( \angle L = 120^\circ \)) проведены биссектрисы \( LA \) и \( KB \) углов \( KLM \) и \( LKM \) соответственно. Найдите величину угла \( \angle KBA \).