Задание 1. Коля стрелял в тире. Если он попадал в цель, то ему давали ещё \(3\) дополнительных патрона. А если он попадал в цель два раза подряд, то за второе попадание ему давали \(4\) патрона. Сначала Коле дали \(20\) патронов, он сделал \(52\) выстрела, и патроны у него закончились. Сколько раз Коля попал в цель, если три раза подряд он не попал ни разу?
Задание 2. В строчку записано \(1000\) чисел. Каждое число, начиная со второго, не меньше предыдущего; сумма всех чисел равна \(100\); сумма любых \(300\) чисел не меньше, чем \(20\). Какое наименьшее число может стоять на \(960\)-м месте?
Задание 3. На середине дороги от Васиного дома до школы стоит светофор. В понедельник Вася попал на зеленый сигнал светофора. Во вторник он шел с той же скоростью, но простоял на светофоре 5 минут, а после этого увеличил скорость вдвое. И в понедельник, и во вторник он потратил на путь от дома до школы одинаковое время. Какое?
Задание 3. Про треугольник, один из углов которого равен 120°, известно, что его можно разрезать на два равнобедренных треугольника. Чему могут быть равны два других угла исходного треугольника?
Задание 4. На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления:
Четно или нечетно количество жителей острова? Ответ обоснуйте.
Задание 5. На стороне \( BC \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( E \), а на биссектрисе \( BD \) — точка \( F \), таким образом, что \( EF \parallel AC \) и \( AF = AD \). Докажите, что \( AB = BE \).
Задание 6. В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?
Задание 7. На сторонах угла \( ABC \) отмечены точки \( M \) и \( K \) так, что углы \( \angle BMC \) и \( \angle BKA \) равны, \( BM = BK \), \( AB = 15 \), \( BK = 8 \), \( CM = 9 \). Найдите периметр треугольника \( COK \), где \( O \) — точка пересечения прямых \( AK \) и \( CM \).
Задание 8. Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на \( 60 \) равен составному числу. Какому?
Задание 9. В коробке лежат 2011 белых и 2012 черных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку черный шар. Если они разного цвета, то выкидывают черный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Какого он цвета?
Задание 10. На стороне \( BC \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( K \) и \( L \) так, что \( BK = KL = LC \), а на стороне \( AC \) отмечена точка \( M \) так, что \( AM = \dfrac{1}{3} AC \). Найдите сумму углов \( \angle AKM \) и \( \angle ALM \).