Летово. Подборка №25.

Задание 1. На острове живут лжецы, которые всегда лгут, и рыцари, которые всегда говорят правду. Каждый из них сделал по два заявления:

• 1) «Среди моих друзей – нечетное количество рыцарей»;
• 2)«Среди моих друзей – нечетное количество лжецов»

Четно или нечетно количество жителей острова? Ответ обоснуйте.

Задание 2. В некотором классе при любой раздаче \(1000\) конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?

Задание 3. В коробке лежат 2024 белых и 2027 черных шаров. Наугад вытаскиваются два шара. Если они одного цвета, то их выкидывают и кладут в коробку черный шар. Если они разного цвета, то выкидывают черный, а белый кладут обратно. Процесс продолжается до тех пор, пока в коробке не останется один шар. Возможно ли однозначно определить - какого цвета этот шар?

Задание 4. Найдите наименьшее значение выражения \( (2a - 1)(2a + 1) + 3b (3b - 4a) \).

Задание 5. Докажите, что число:

• а) \( \overline{ab} - \overline{ba} \) кратно \(9\);
• б) \( \overline{abc} - \overline{cba} \) кратно \(99\);
• в) \( \overline{ab} + \overline{ba} \) делится на \(11\);
• г) \( \overline{abcd} + \overline{dcba} \) делится на \(11\).

Задание 6. Число \( a + \dfrac{1}{a} \) — целое. Докажите, что числа \( a^2 + \dfrac{1}{a^2} \), \( a^3 + \dfrac{1}{a^3} \) также являются целыми.

Задание 7. Докажите, что при любом натуральном \( n \):

• а) \( n(n+1) \) кратно \(2\);
• б) \( n^2 + 3n \) кратно \(2\).

Задание 8. Найдите сумму:

• \( \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{n(n+1)} \).

Задание 9. Известно, что \( \dfrac{4b + a}{5a - 7b} = 2 \). Найдите:

• а) \( \dfrac{4a - 5b}{3a + b} \);
• б) \( \dfrac{3a^2 - 2ab + b^2}{5a^2 + 2b^2} \);

Задание 8. При каких натуральных значениях \( n \) выражение \( \dfrac{2n - 3}{n + 1} \) является целым числом?

Задание 9. Докажите, что из равенства \( x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx \) следует равенство \( x = y = z \).

Задание 10. Докажите, что если \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \), то:

• а) \( \dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d} \);
• б) \( \dfrac{a}{a + b} = \dfrac{c}{c + d} \).