Летово. Подборка №26.

Задание 1. Известно, что \(a + b + c = 12\) и \(ab + bc + ca = -15\). Найдите \(a^2 + b^2 + c^2\).

Задание 2. Докажите, что \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\), если \(a + b + c = 0\).

Задание 3. Найдите наименьшее значение выражения \(2a^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2\). При каких значениях \(a\) и \(b\) оно достигается?

Задание 4. Найдите наибольшее значение выражения \(2ab - a^2 - 2b^2 + 4b\). При каких значениях \(a\) и \(b\) оно достигается?

Задание 5. Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения:

• а) \((x + 2)^2 - 2(x + 2) + 1\) неотрицательно;
• б) \((x - y)(x - y - 6) + 9\) неотрицательно.

Задание 6. Пусть \(a + \dfrac{1}{a} = 3\). Найдите:

• а) \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\);
• б) \(\dfrac{1+a^4}{2a^2}\);
• в) \(\dfrac{1+a^8}{a^4}\);
• г) \(a^3 + \dfrac{1}{a^3}\).

Задание 7. Пусть \(a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{3}\). Найдите:

• а) \(a^2 + \dfrac{1}{a^2}\);
• б) \(a^3 - \dfrac{1}{a^3}\);

Задание 8. Пусть \(a + b + c + d = 2p\). Докажите, что \(4(cd + ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)\).

Задание 9. Вычислите:

• \( \underbrace{999 \ldots 9}_{100\text{ раз}} + 22\);

Задание 10. Докажите, что из равенства \((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2\) следует, что \(a = b = c\).

Задание 11. Петя купил общую тетрадь объемом \(96\) листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от \(1\) до \(192\). Вася вырвал из этой тетради \(25\) листов и сложил все \(50\) чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться \(1990\)?