Летово. Подборка №27.

Задание 1. Известно, что $a + b + c = 20$ и $ab + bc + ca = -10$. Найдите $a^2 + b^2 + c^2$.

Задание 2. Найдите наибольшее значение выражения $8ab - 4a^2 - 8b^2 + 32b$. При каких значениях $a$ и $b$ оно достигается?

Задание 3. Пусть $a + \dfrac{1}{a} = 10$. Найдите:

а) $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$;
б) $\dfrac{1+a^4}{2a^2}$;
в) $\dfrac{1+a^4}{10a^2}$;
г) $\dfrac{1+a^8}{a^4}$;
д) $a^3 + \dfrac{1}{a^3}$.
д) $\dfrac{a^6+1}{10a^3}$.

Задание 4. Пусть $a - \dfrac{1}{a} = 2$. Найдите:

а) $a^2 + \dfrac{1}{a^2}$;
б) $a^3 - \dfrac{1}{a^3}$;

Задание 5. Пусть $a + b + c + d = 2p$. Докажите, что $4(cd + ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 16(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)$. (не больше 15 минут постарайтесь потратить на это задание)

Задание 6. Существуют ли такие три различных числа $а, b$ и $с$, что $а(b - c) = b(c - a) = c(a - b)$?

Задание 7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $K$ – середина гипотенузы $AB$, а точка $M$ делит катет $AC$ в отношении $2:1$ (считая от вершины $A$). Найдите острые углы треугольника $ABC$, если отрезок $MK$ перпендикулярен $AB$.

Задание 8. В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Победитель выиграл у всех и набрал в $5$ раз меньше очков, чем все остальные вместе. Сколько было участников? (Победа – $1$ очко, ничья – $0.5$ очка, поражение – $0$ очков)

Задание 9. Треугольник $\Delta ABC$ – равнобедренный, угол $BAC = 120^\circ$. На продолжении стороны $AC$ за вершину $A$ взята точка $D$ так, что $AD = 2AB$. Докажите, что треугольник $\Delta BDC$ – также равнобедренный.