Задание 1. Найдите наибольшее значение выражения \(16ab - 4a^2 - 16b^2 + 320b\). При каких значениях \(a\) и \(b\) оно достигается?
Задание 2. Существуют ли такие четыре различных числа $а, b$ и $с, d$, что $а(b - c) = b(c - a) = c(a - b)=d(a-c)=d(b-a)$?
Задание 3. В треугольнике \( ABC \) буквой \( H \) обозначена точка пересечения высот \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Найдите \(\angle BAC\), если известно, что \( AH = BC \).
Задание 4. В треугольнике \( ABC \) проведены биссектрисы \( AM \) и \( CK \), пересекающиеся в точке \( O \). Может ли угол \( AOC \) оказаться острым?
Задание 5. \( ABCD \) – квадрат. Треугольники \( AMD \) и \( AKB \) – равносторонние. Верно ли, что точки \( C \), \( M \) и \( K \) лежат на одной прямой?
Задание 6. На плоскости расположены пять точек \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) и \( E \) так, что \( AC = 5 \, \text{см} \), \( AE = 4 \, \text{см} \); \( BC = 14 \, \text{см} \), \( BD = 2 \, \text{см} \), \( DE = 3 \, \text{см} \). Найдите расстояние между серединами отрезков \( AB \) и \( CD \).
Задание 7. В пятиугольной звезде, угол \( \angle ACE = \angle ADB \) и угол \( \angle DBE = \angle BEC \). Известно также, что \( BD = CE \). Докажите, что угол \( \angle ACD = \angle ADC \).
Задание 8. В остроугольном треугольнике \( ABC \) медиана \( AM \) равна высоте \( BH \), причем равны углы \( \angle MAB \) и \( \angle HBA \). Докажите, что треугольник \( ABC \) – равносторонний.