Задание 1. Найдите наибольшее значение выражения \(16ab - 4a^2 - 17b^2 + 320b\). При каких значениях \(a\) и \(b\) оно достигается?
Задание 2. Существуют ли такие пятерки попарно различных чисел $а, b$ и $с, d, e$, что $7а(b + c) = 5b(c - 2a) = 4c(2a - 3b)=8d(a-c)=d(b-a)=d(e-a)$?
Задание 3. Сколько натуральных чисел вида $3^n + 1$, где $n$ – натуральное число, являются точными квадратами?
Задание 4. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был в 60 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 30 км. На сколько километров велосипедист обгонял пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?
Задание 5. Из города в одном направлении выехало три автомобиля: второй – через \( 10 \) минут после первого, третий – через \( 20 \) минут после второго. Через \( 30 \) минут после своего выезда третий автомобиль догнал второй, а еще через \( 10 \) минут – первый. Через сколько минут после своего выезда из города второй автомобиль догнал первый?
Задание 6. В остроугольном треугольнике \( ABC \) угол \( B \) равен \( 60^\circ \), \( AM \) и \( CN \) – его высоты, а \( Q \) – середина стороны \( AC \). Докажите, что треугольник \( MNQ \) – равносторонний.
Задание 7. Две стороны четырехугольника равны \( 1 \) и \( 4 \). Одна из диагоналей делит его на два равнобедренных треугольника и имеет длину \( 2 \). Найдите периметр четырехугольника.
Задание 8. Угол \( \angle BAC \) треугольника \( ABC \) равен \( 120^\circ \). На биссектрисе этого угла взята точка \( D \) так, что \( AD = AB + AC \). Найдите углы треугольника \( BDC \).
Задание 9. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен одной из медиан. Какой угол образует эта медиана со вторым катетом?
Задание 10. В четырехугольнике \( ABCD \) углы \( A \) и \( B \) – прямые. Известно также, что \( CD = AD + BC \). Биссектриса угла \( \angle ADC \) пересекает \( AB \) в точке \( M \). Найдите угол \( \angle CMD \).
Задание 11. В треугольнике \( ABC \) точка \( D \) лежит на стороне \( AC \), биссектриса \( CE \) пересекается с отрезком \( BD \) в точке \( O \), причем \( EO = DO \) и \( \angle EOD = 120^\circ \). Найдите угол \( \angle BAC \).