Задание 3. Сколько натуральных чисел вида $7^n + 9$, где $n$ – натуральное число, являются точными квадратами?
Задание 2. В треугольнике \( \Delta ABC \) известны углы: \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \) и \( \angle C = 70^\circ \). Найдите угол между биссектрисами углов \( \angle A \) и \( \angle B \), угол между биссектрисами углов \( \angle C \) и \( \angle B \), угол между биссектрисами углов \( \angle A \) и \( \angle C \)
Задание 3. В треугольнике \( \Delta PQR \) известны углы между биссектрисами: угол между биссектрисами углов \( \angle P \) и \( \angle Q \) равен \( 40^\circ \), а угол между биссектрисами углов \( \angle Q \) и \( \angle R \) равен \( 60^\circ \). Найдите углы треугольника \( \Delta PQR \).
Задание 4. В треугольнике \( \Delta ABC \) длины сторон попарно различны. На сторонах \( AB \) и \( AC \) угла \( \angle BAC \) выбираются точки \( M \) и \( N \) соответственно так, что \( AM = AC \) и \( AN = AB \). Отрезок \( MN \) пересекается со стороной \( BC \) в точке \( A_1 \). Аналогично, на сторонах угла \( \angle ABC \) выбираются точки \( K \) и \( L \) так, что \( BK = BC \) и \( BL = BA \), \( B_1 \) — точка пересечения \( KL \) и \( AC \). Точка \( C_1 \) на стороне \( AB \) также определяется аналогично. Докажите, что прямые \( AA_1 \), \( BB_1 \) и \( CC_1 \) пересекаются в одной точке.
Задание 5. В треугольнике \( \Delta ABC \) проведены медиана \( AM \), высота \( BH \) и биссектриса \( CL \). Точка \( K \) пересечения отрезков \( CL \) и \( MH \) является серединой каждого из них. Найдите углы треугольника.
Задание 6. В треугольнике \( \Delta ABC \) проведена биссектриса \( BD \). Докажите, что \( AB > AD \).
Задание 7. Можно ли начертить два треугольника так, чтобы образовался девятиугольник?
Задание 8. В равнобедренном треугольнике \( \Delta ABC \) с основанием \( BC \) биссектриса \( BL \) вдвое больше высоты \( AD \). Найдите углы треугольника.
Задание 9. В треугольнике \( \Delta ABC \) медиана, проведённая из вершины \( A \) к стороне \( BC \), в четыре раза меньше стороны \( AB \) и образует с ней угол \( 60^\circ \). Найдите угол \( \angle BAC \).
Задание 10. В квадрате \( ABCD \) со стороной \( 1 \) точка \( F \) — середина стороны \( BC \), \( E \) — основание перпендикуляра, опущенного из вершины \( A \) на \( DF \). Найдите длину \( BE \).