Задание 1. В равнобедренном треугольнике \( \Delta ABC \) с основанием \( BC \) биссектриса \( BL \) вдвое больше высоты \( AD \). Найдите углы треугольника.
Задание 2. В треугольнике \( \Delta ABC \) медиана, проведённая из вершины \( A \) к стороне \( BC \), в четыре раза меньше стороны \( AB \) и образует с ней угол \( 60^\circ \). Найдите угол \( \angle BAC \).
Задание 3. В квадрате \( ABCD \) со стороной \( 1 \) точка \( F \) — середина стороны \( BC \), \( E \) — основание перпендикуляра, опущенного из вершины \( A \) на \( DF \). Найдите длину \( BE \).
Задание 4. На свой день рождения Василиса купила треугольный пирог, который она разрезала по каждой биссектрисе и получилось 6 кусков. Опоздавшему Игорю достался кусок в форме прямоугольного треугольника, на основании чего он заявил, что пирог имел форму равнобедренного треугольника. Прав ли Игорь?
Задание 5. В треугольнике \(ABC\) на сторонах \(AB\), \(AC\) и \(BC\) выбраны точки \(D\), \(E\) и \(F\) соответственно так, что \(BF = 2CF\), \(CE = 2AE\) и угол \(\angle DEF\) – прямой. Докажите, что \(DE\) – биссектриса угла \(\angle ADF\).
Задание 6. Высота \(AH\) остроугольного треугольника \(ABC\) равна его медиане \(BM\). На продолжении стороны \(AB\) за точку \(B\) отложена точка \(D\) так, что \(BD = AB\). Найдите угол \(\angle BCD\).
Задание 7. В треугольнике \(ABC\): \(AC = 8\), \(BC = 5\). Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла \(\angle C\), проходит через середину стороны \(AB\) и точку \(E\) на стороне \(AC\). Найдите \(AE\).
Задание 8. На доске записаны в ряд сто чисел, отличных от нуля. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, является произведением двух соседних с ним чисел. Первое число – это 7. Какое число последнее?
Задание 9. На доске выписаны числа $1, 2, …, 100$. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестертых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число $1$. Какие числа будут стерты на последнем этапе?