Задание 1. В треугольнике \(ABC\): \(AC = 16\), \(BC = 10\). Прямая, параллельная биссектрисе внешнего угла \(\angle C\), проходит через середину стороны \(AB\) и точку \(E\) на стороне \(AC\). Найдите \(AE\).
Задание 2. На доске выписаны числа $1, 2, …, 100,101,102,...,1000$. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестертых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число $1$. Какие числа будут стерты на последнем этапе?
Задание 3. Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?
Задание 4. Существует ли многоугольник с попарно различными сторонами, из которого после одного перегибания получается квадрат?
Задание 5. На стороне \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \) (\( AB = AC \)) отметили точку \( E \). На отрезке \( AE \) отложили отрезок \( ED = BE \). Найдите угол \( DBC \), если известно, что угол \( CBE \) равен углу \( DBA \).
Задание 6. На стороне \( BC \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечена точка \( M \), а на продолжении стороны \( AC \) за точку \( C \) — точка \( N \), причем \( AM = MN \). Докажите, что \( BM = CN \).
Задание 7. На стороне \( AB \) квадрата \( ABCD \) отмечена точка \( K \), а на стороне \( BC \) — точка \( L \) так, что \( KB = LC \). Отрезки \( AL \) и \( CK \) пересекаются в точке \( P \). Докажите, что отрезки \( DP \) и \( KL \) перпендикулярны.
Задание 8. На боковых сторонах \( AB \) и \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \) отметили точки \( K \) и \( L \) соответственно так, что \( AK = CL \) и угол \( \angle ALK + \angle LKB = 60^\circ \). Докажите, что \( KL = BC \).
Задание 9. В каждой клетке таблицы \( 2019 \times 2019 \) записали число \( 1 \) или число \( -1 \). Затем подсчитали произведения в каждой строке и в каждом столбце. Могла ли сумма всех полученных произведений оказаться равной \( 2020 \)?