Задание 1. На доске выписаны числа $1, 2, …, 100,101,102,...,4000$. На каждом этапе одновременно стираются все числа, не имеющие среди нестертых чисел делителей, кроме себя самого. Например, на первом этапе стирается только число $1$. Какие числа будут стерты на последнем этапе?
Задание 2. В каждой клетке таблицы \( 2025 \times 2025\) записали число \( 1 \) или число \( -1 \). Затем подсчитали произведения в каждой строке и в каждом столбце. Могла ли сумма всех полученных произведений оказаться равной \( 2024 \)?
Задание 3. В каждой клетке таблицы \( 7 \times 7\) записали число \( 1 \) или число \( -1 \). Затем подсчитали произведения в каждой строке и в каждом столбце. Могла ли сумма всех полученных произведений оказаться равной 7?
Задание 4. В каждой клетке таблицы \( 2025 \times 2025\) записали число \( 1 \) или число \( -1 \). Затем подсчитали произведения в каждой строке и в каждом столбце. Могла ли сумма всех полученных произведений оказаться равной 2025?
Задание 5. Торговец продал книгу со скидкой \(15\%\) от назначенной цены и получил в результате сделки на \(25\%\) больше закупочной цены. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги? (ответ может оказаться не очень хорошим).
Задача 6. Лиственницы составляют \(98\%\) всего леса. В лесу собирались вырубать только лиственницы и обещали в итоге оставить лиственниц $85\%$ от всего леса. Но жители деревни договорились, чтобы лиственниц осталось $94\%$ от всего леса. Сколько процентов лиственниц удалось спасти?
Задание 7. Про числа \(a\), \(b\) и \(c\) известно, что \( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 = (a + b + c)^2 \). Какие значения могут принимать \(a\), \(b\) и \(c\)?
Задание 8. Вершину \(A\) прямоугольника \(ABCD\) соединили отрезками с серединами сторон \(BC\) и \(CD\). Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Задание 9. Найдите значение выражения \( \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{4} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{5} \right) \ldots \left( 1 + \dfrac{1}{2m} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{2m+1} \right)\ldots \left( 1 + \dfrac{1}{2024} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{2025} \right)\).
Задание 10. При каком натуральном значении \(n\) значение выражения \( \dfrac{3n + 7}{3n - 7} \) будет наименьшим?
Задание 11. О - центр квадрата \(ABCD\). Точка \(P\) внутри квадрата такова, что треугольник \(APD\) – равносторонний. \(M\) и \(N\) – середины отрезков \(BP\) и \(CP\). Докажите, что треугольник \(MON\) – также равносторонний.
Задание 12. На сторонах \(CD\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) отмечены точки \(K\) и \(M\) так, что \(MK = CK\). Перпендикуляр к \(MK\), проходящий через точку \(M\), пересекает \(AB\) в точке \(N\). Докажите, что расстояние от \(C\) до прямой \(MN\) равно стороне квадрата.
Задание 13. В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(BM\). Найдите угол \(ABM\), если \(\angle BAC = 30^\circ\), \(\angle BCA = 105^\circ\).