Задание 1. Торговец продал книгу со скидкой \(10\%\) от назначенной цены и получил в результате сделки на \(25\%\) больше закупочной цены. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги? (ответ может оказаться не очень хорошим).
Задача 2. Лиственницы составляют \(99\%\) всего леса. В лесу собирались вырубать только лиственницы и обещали в итоге оставить лиственниц $80\%$ от всего леса. Но жители деревни договорились, чтобы лиственниц осталось $94\%$ от всего леса. Сколько процентов лиственниц удалось спасти?
Задание 3. Про числа \(a\), \(b\) и \(c\) известно, что \( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 = (a + b + c)^2 \). Какие значения могут принимать \(a\), \(b\) и \(c\)?
Задание 4. Вершину \(A\) прямоугольника \(ABCD\) соединили отрезками с серединами сторон \(BC\) и \(CD\). Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Задание 5. Найдите значение выражения \( \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{4} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{5} \right) \ldots \left( 1 + \dfrac{1}{2m} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{2m+1} \right)\ldots \left( 1 + \dfrac{1}{2024} \right) \left( 1 - \dfrac{1}{2025} \right)\).
Задание 6. При каком натуральном значении \(n\) значение выражения \( \dfrac{3n + 7}{3n - 7} \) будет наименьшим?
Задание 7. О - центр квадрата \(ABCD\). Точка \(P\) внутри квадрата такова, что треугольник \(APD\) – равносторонний. \(M\) и \(N\) – середины отрезков \(BP\) и \(CP\). Докажите, что треугольник \(MON\) – также равносторонний.
Задание 8. На сторонах \(CD\) и \(AD\) квадрата \(ABCD\) отмечены точки \(K\) и \(M\) так, что \(MK = CK\). Перпендикуляр к \(MK\), проходящий через точку \(M\), пересекает \(AB\) в точке \(N\). Докажите, что расстояние от \(C\) до прямой \(MN\) равно стороне квадрата.
Задание 9. В треугольнике \(ABC\) проведена медиана \(BM\). Найдите угол \(ABM\), если \(\angle BAC = 30^\circ\), \(\angle BCA = 105^\circ\).
Задание 10. Эта задача очень похожа на ту, что мы разбирали на прошлом уроке, но различия есть.
Пусть \( K \) – точка, которая лежит на стороне \( BC \) треугольника \( ABC \). На лучах \( AB \) и \( AC \) отмечены точки \( X \) и \( Y \), точка \( K \) также лежит на отрезке \( XY \). Оказалось, что \( BX = CY \) и \( AX = AY \). Докажите, что $K$ - середина отрезка $BC$.