Задание 1. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle A$ и $\angle BKC$,если известно, что:
Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?
Задание 2. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle BKC$ и $\angle BOC$,если известно, что:
Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?
Задание 3. В треугольнике \(\Delta ABC\) проведены биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$, которые пересекаются в точке $O$. Биссектрисы внешних углов при вершинах $\angle B$ и $\angle C$ пересекаются в точке $K$, которая лежит внутри угла $\angle A$. Найдите $\angle A$ и $\angle BOC$,если известно, что:
Дополнительный вопрос. Чему равна сумма углов $\angle BKC+\angle BOC=$ ?
Задание 4. Расстояние между некоторым городом $M$ и городом $N$ составляет \(660\) км. В одно мгновение из них навстречу друг другу выехали два автомобиля. Мы знаем, что скорость первого автомобиля ровно на \(10\) км/ч меньше скорости второго. Также стало известно, что ровно через три часа после начала движения расстояние между автомобилями стало \(150\) км. Найдите скорость движения первого автомобиля.
Задание 5. В некотором тупоугольном треугольнике \(TBC\) угол \(T\) является тупым. Известно, что продолжения высот \(BB_1\), \(CC_1\) треугольника \(TBC\) пересекаются в одной точке \(H\), причем известно, что угол \(BHC\) равен \(60^\circ\). В данном треугольнике проведены биссектрисы \(TF\), \(BK\), \(CN\). Найдите угол \(NFK\).
Задание 6. В записи \(1, 2, 3, \ldots, 2022, 2023\) убрали все запятые, образовав огромное число. Сколько раз в записи полученного числа встретится цифра \(0\)?
Задание 7. Угол \( \angle EPC \) треугольника \( PEC \) равен \( 120^\circ \). На биссектрисе этого угла взята точка \( D \) так, что \( PD = PE + PC \). Найдите углы треугольника \( EDC \).
Задание 8. В треугольнике \( ABC \) на продолжении медианы \( CM \) за точку \( C \) отметили точку \( K \) так, что \( AM = CK \). Известно, что угол \( BMC \) равен \( 60^\circ \). Докажите, что \( AC = BK \).
Задание 9. В треугольнике \( ABC \) с углом \( B \) равным \( 120^\circ \) проведены биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \). Отрезок \( A_1B_1 \) пересекает биссектрису \( CC_1 \) в точке \( M \). Найдите градусную меру угла \( B_1BM \).
Задание 10. Бильбо Бэггинс пришёл в гости к нескольким молодым хоббитам, и все сели за стол. Оказалось, что возраст Бильбо на \(77\) лет больше среднего возраста молодых хоббитов и на \(70\) лет больше, чем средний возраст всех, находящихся за столом. Сколько было молодых хоббитов?