Задание 1. Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
Задание 2. У Ильи есть табличка \( 3 \times 3 \), заполненная числами от \( 1 \) до \( 9 \) так, как в таблице слева. За один ход Илья может поменять местами любые две строчки или любые два столбца. Может ли он за несколько ходов получить таблицу справа?
|
→ |
|
Задание 3. Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?
Задание 4. Юрий записал на доске набор чисел \( 1, 2, 3, \ldots, 19, 20 \). По правилам игры, ему можно стереть любые два числа \( a \) и \( b \) и вместо них написать число \( a + b - 1 \). Какое число может остаться на доске после \( 19 \) таких операций?
Задание 5. Юрий записал на доске набор чисел $1, 2, 3, ..., 2024,2025$. По правилам игры, ему можно стереть любые два числа и написать вместо них разность этих чисел. Можно ли добиться того, чтобы за несколько ходов все числа на доске стали нулями?
Задание 6. В остроугольном треугольнике \( ABC \): \( \angle A = 30^\circ \); \( BB_1 \) и \( CC_1 \) – высоты; \( B_2 \) и \( C_2 \) – середины сторон \( AC \) и \( AB \) соответственно. Под каким углом пересекаются прямые \( B_1C_2 \) и \( C_1B_2 \)?
Задание 7. Квадрат со стороной $1$ разрезали на прямоугольники периметра $2$. Сколько прямоугольников могло получиться? (Укажите все возможные значения и обоснуйте.)
Задание 8. В треугольнике \( ABC \) на продолжении медианы \( CM \) за точку \( C \) отметили точку \( K \) так, что \( AM = CK \). Известно, что угол \( BMC \) равен \( 60^\circ \). Докажите, что \( AC = BK \).
Задание 9. В треугольнике \( ABC \) с углом \( B \) равным \( 120^\circ \) проведены биссектрисы \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \). Отрезок \( A_1B_1 \) пересекает биссектрису \( CC_1 \) в точке \( M \). Найдите градусную меру угла \( B_1BM \).
Задание 10. Будем называть "отважной" совокупность из четырех попарно равных треугольников. Будем называть "яркой" совокупность четырех попарно равных треугольников, не входящих в "отважную" совокупность. Если взять один треугольник из отважной совокопности и один из яркой совокупности, то эти два треугольника могут быть равны между собой, а могут и не быть равны. Возможно ли разрезать выпуклый четырехугольник \(ABCD\) на $8$ частей таким образом, чтобы из них можно было бы собрать отважную, а также и яркую совокупности?