Задание 1. Найдите остаток при делении числа $9^n+5\cdot 13^n+5^n-100$ на $4$, если известно, что $n$ - натуральное число.
Задание 2. Найдите последнюю цифру числа $2024^{2025}+2025^{2024}$
Задание 3. Найдите остаток при делении числа $3^{333}$ на $5$, если известно, что $n$ - натуральное число.
Задание 4. Докажите, что для любого натурального \( n \):
Задание 5. Докажите, что среди \( 51 \) целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на \( 100 \).
Задание 6. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см.
Задание 7. Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
Задание 8. Найдите наименьшее простое число \( p \), большее двух, такое, что \( p^3 + 7p^2 \) является точным квадратом.
Задание 9. Число \( A \) является суммой трёх последовательных натуральных чисел. Число \( B \) также является суммой трёх последовательных натуральных чисел. Может ли произведение чисел \( A \) и \( B \) оказаться равным \( 2007 \)?
Задание 10. В нескольких кошельках лежат одинаковые суммы денег. Если бы количество кошельков было на 1% меньше, а денег в каждом кошельке – на копейку больше, то общая сумма денег была бы меньше. А если бы, наоборот, количество кошельков было больше на 1%, а денег в каждом кошельке – на копейку меньше, то общая сумма денег также была бы меньше. Во сколько раз увеличится общая сумма денег, если количество кошельков не менять, но в каждый кошелек добавить по рублю?
Задание 11. Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.