Задание 1. Найдите остаток при делении числа $999^{2n-1}+1001^{2n-1}$ на $1000$, если известно, что $n$ - натуральное число.
Задание 2. Найдите остаток при делении числа $2^{222}$ на $5$, если известно, что $n$ - натуральное число.
Задание 4. Докажите, что для любого нечетного \( n \):
Задание 5. Докажите, что среди \( 151 \) целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на \( 300 \).
Задание 6. Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр, а затем еще раз повторил эту операцию с полученным числом. Петя сделал тоже самое со своим задуманным числом. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?
Задание 7. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
Задание 8. Найдите наименьшее простое число \( p \), большее двух, такое, что \( p^3 + 23p^2 \) является точным квадратом.
Задание 9. Разложите на множители \( x^4+4 \).
Задание 10. Некоторое число $S$ увеличили сначала на $10\%$,а после полученное число еще раз увеличили на $10\%$, затем сделали еще раз тоже самое. В конце концов, полученное число уменьшили на $30\%$, результат обозначим буквой $A$. На сколько $\%$ число $A$ отличается от $S$. А на сколько процентов число $S$ отличается от $A$. (Результаты могут быть некрасивыми числами).
Задание 11. Среди чисел \( x \), \( y \), \( a \) и \( b \) нет одинаковых, при этом выполняется равенство \(\dfrac{x+a}{x+b} = \dfrac{y+b}{y+a}\). Найдите сумму: \( x + y + a + b \).
Задание 12. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) серединные перпендикуляры к сторонам \( BA \) и \( BC \) пересекают основание \( AC \) в точках \( P \) и \( Q \) соответственно. Найдите длину отрезка \( PQ \), если \(\angle B = 120^\circ\), \( AC = 21 \).