Задание 1. Представьте себе замкнутую по окружности железную дорогу. По ней едет поезд, последний вагон которого скреплён с первым так, что внутри можно свободно перемещаться между вагонами. Вы оказались в одном случайном вагоне и ваша задача — подсчитать их общее количество. В каждом вагоне можно включать или выключать свет, но начальное положение переключателей случайное и заранее неизвестно. Все вагоны внутри выглядят строго одинаково, окна закрыты так, что невозможно посмотреть наружу, движение поезда равномерное. Помечать вагоны как-либо, кроме включения или выключения света, нельзя.
Задание 2. Числа от 1 до 30 записали на месте пустых квадратиков внизу и получили 15 дробей. (Каждое число было записано ровно один раз.) Значения некоторых из этих дробей оказались равны целым числам. Найдите наибольшее возможное количество таких дробей и объясните, почему вы считаете, что это число не может быть больше.
Задание 3. Имеются две свечи разной длины и толщины. Отношение длин свечей равно 5 : 7, при этом длинная свеча полностью сгорает за 3,5 часа, а короткая за 5 часов. Обе свечи зажгли одновременно. Через какое время горящие свечи окажутся одинаковой длины? (Каждая из свечей горит с постоянной скоростью.)
Задание 4. Для натурального числа \( n \) обозначим через \( S(n) \) сумму цифр числа \( n \). Найдите все решения уравнения \( n + S(n) = 2019 \)
Задание 5. От двух кусков, весящих соответственно 12 кг и 8 кг, с процентным содержанием олова \( p\% \) и \( q\% \) соответственно (\( p > q \)), отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание олова в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
Задание 6. Врач выписал бабушке рецепт: принимать «Антиболин» (20 таблеток в цилиндрической баночке) и «Выздоровин» (20 таблеток в цилиндрической баночке) по одной таблетке каждого вида утром и вечером. При этом нельзя выпить две таблетки одного вида утром, а другие две — вечером. Внук прибежал и высыпал все 40 таблеток на стол, они перемешались и выглядят одинаково. Как теперь бабушке выпить таблетки по указанию врача? Каждую таблетку разрешается разрезать не более чем на 100 равных частей.
Задание 7. Дано 20 баночек с таблетками. В 19 из них лежат таблетки весом 1 г, а в одной – весом 1.1 г. Даны весы, показывающие точный вес. Как за одно взвешивание найти банку с тяжелыми таблетками?
Задание 8. У вас есть аналоговые часы с секундной стрелкой. Сколько раз в день все три стрелки часов накладываются друг на друга?
Задание 9. В 10 классе ученики получают полугодовые и итоговую оценку за каждый из предметов. Марья Ивановна выставляет оценку за каждое из полугодий как среднее арифметическое всех оценок, полученных учеником по ее предмету в этом полугодии, округляя ее до ближайшего целого. Оценка за год выставляется как среднее арифметическое двух полугодий. Оценка также округляется до ближайшего целого. (При округлении числа до ближайшего целого если первая цифра после запятой 5 или больше, то число округляется в большую сторону, если же первая цифра 4 или меньше – в меньшую сторону. Так, число 3,5 округляется до 4.) В конце года Марья Ивановна поставила за год Пете оценку 5.
Задание 10. К концу рабочего дня у кассира остались только рублевые, двухрублевые и пятирублевые монеты, но в большом количестве. Сколькими способами он может выдать очередному покупателю 90 рублей сдачи с помощью этих монет? (Порядок выдачи монет не важен.)
Задание 11. Перед вами три коробки, в одной из которых находится ценный приз, в двух других ничего нет. Вы можете выбрать любую коробку, но вам по-прежнему неизвестно, в какой именно приз. Одну из двух не выбранных вами коробок открывают и показывают, что она пустая. Теперь вы можете или оставить коробку, которую вы первоначально выбрали (оставить), или поменять ее на другую, неоткрытую (заменить). Что вы предпочтете сделать (оставить или заменить)?
Задание 12. Допустим, вы летите из Москвы во Владивосток, а затем обратно, при полном безветрии. Затем вы совершаете точно такой же перелёт, но на этот раз на протяжении всего перелёта дует постоянный западный ветер: в одну сторону попутный, в обратную — лобовой. Как изменится суммарное время перелёта туда-обратно? Увеличится, уменьшится или останется таким же?
Задание 13. Если бы Вы родились 10 лет назад - сколько бы Вам сейчас было лет?
Задание 14. Докажите, что
\[ \frac{1}{1\cdot199} + \frac{1}{3\cdot197} + \frac{1}{5\cdot195} + \dots + \frac{1}{197\cdot3} + \frac{1}{199\cdot1} = \frac{1}{100} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{199} \right) \]