==============================================
Постарайтесь, пожалуйста, сделать то, что успеете.
==============================================
Задание 1. В сериале «Тайна Санта-Барбары» участвует \(50\) героев. Каждую серию происходит одно из событий: некоторый герой узнает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то знает Тайну, некоторый герой узнает, что кто-то не знает Тайну. Какое наибольшее число серий может продолжаться сериал?
Задание 2. Среди любых десяти из $100$ ребят найдутся $8$ одноклассников. Докажите, что среди всех них найдутся \(18\) одноклассников.
Задание 3. Квадрат \( 8 \times 8 \) разрезан по границам клеток на два многоугольника одинаковой площади. На какое наибольшее число могут отличаться периметры частей? (Многоугольник не может содержать "дырок").
Задание 4. Выписаны все делители некоторого натурального числа, кроме единицы и самого числа. Какие-то два числа из этого списка отличаются в \( 12 \) раз. А во сколько раз отличаются два самых больших числа из этого списка?
Задание 5. На биссектрисе угла \( ABC \) отмечена точка \( D \), а на отрезке \( BD \) выбрана точка \( E \), причём \( \angle CED = 90^\circ \) (см. рис.). Известно, что \( DE = 1 \), \( AB = 2 \), \( BE = 3 \), и \( BC = 4 \). Докажите, что треугольник \( ACD \) — равнобедренный.
Задание .6 Дан пятиугольник \( ABCDE \), в нем \( AB = DE \), \( BC = CD \), \( \angle ABC = \angle CDE \). Докажите, что \( AD \) равно \( BE \).
Задание 7.1. Три мальчика и шесть девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \(p\) грибов, а девочки по \(q\) грибов, причём оказалось, что числа \(p\) и \(q\) простые, а в сумме дети собрали \(100\) грибов. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать \(100\) грибов, то объясните - почему?
Задание 7.2. Четыре мальчика и шесть девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \(p\) грибов, а девочки по \(q\) грибов, в сумме дети собрали \(105\) грибов. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать \(105\) грибов, то объясните - почему?
Задание 7.3. Пять мальчиков и десять девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \(p\) грибов, а девочки по \(q\) грибов, в сумме дети собрали \(99\) грибов. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать \(99\) грибов, то объясните - почему?
Задание 7.4. Одиннадцать мальчиков и пять девочек пошли за грибами. Все мальчики собрали по \(p\) грибов, а девочки по \(q\) грибов, причём оказалось, что числа \(p\) и \(q\) простые, а в сумме дети собрали \(120\) грибов. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты. Если они не могли при таких условиях собрать \(120\) грибов, то объясните - почему?
Задание 8.1. Можно ли на плоскости нарисовать пять отрезков так, чтобы каждый пересекал (по внутренним точкам) ровно три других отрезка?
Задание 8.2. Можно ли на плоскости нарисовать шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал (по внутренним точкам) ровно пять других отрезков?
Задание 9. Оля перемножила несколько первых чётных чисел, а Макс перемножил несколько первых простых чисел. Могли ли у них получиться одинаковые результаты после умножения? (если да, то какие?)
Задание 10. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) известен \(\angle B = 130^\circ\). Определите углы между прямой, содержащей высоту \(AA_1\), и прямой, содержащей биссектрису \(BB_1\).
Задание 11. В треугольнике \(ABC\) известен \(\angle B = 81^\circ\), \(BH\) - высота. Найдите \(\angle BAC\), если \(AH = BC + CH\).
Задание 12. Вычислите: \(\dfrac{1}{4} \cdot 5^{32} - (5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1)(5^{16} + 1)\)
Задание 13. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с вершиной \(B\) на стороне \(BC\) взята точка \(K\) такая, что \(CA = AK = KB\). Периметр треугольника \(CAK\) равен \(4\), также известно, что периметр треугольника \(AKB\) равен \(5\). Вычислите периметр \(\Delta ABC\).