| Тип объекта | Формула для вычисления |
|---|---|
| Перестановки | \(P_n = n!\) |
| Перестановки с повторениями | \(\tilde{P}_n^k = \dfrac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_n!}\) |
| Размещения | \(A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}\) |
| Размещения с повторениями | \(\tilde{A}_n^k = n^k\) |
| Сочетания | \(C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) |
| Сочетания с повторениями | \(\tilde{C}_n^k = \dfrac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} = C_{n+k-1}^k\) |
Задание 1. В кондитерской продается 4 разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать 9 пирожных, если можно выбирать любые виды и в любом количестве?
Задание 2. Найдите число способов расставить $4$ шахматные фигуры на доске $2\times 2$, если в наборе $4$ белые пешки, $4$ черные пешки, $4$ белых короля, $4$ черных короля. Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 3. Найдите число способов расставить $4$ шахматные фигуры на доске $2\times 2$, если одинаковых белых фигур $100$ штук и одинаковых черных фигур $100$ штук? Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 4. Найдите число способов составить различные трехзначные числа, используя только цифры $1$ и $2$. Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 5. Найдите число способов составить различные трехзначные числа, используя только одну из цифр $1$ или $2$ для числа сотен, одну из цифр $3$ или $4$ для числа десятков, а также одну из цифр $5$ или $6$ для числа единиц. Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 6. На музыкальном фестивале представлено 8 различных исполнителей. Премии будут присуждаться за лучший вокал; лучшую композицию; оригинальность жанра; лучшую хореографию. Сколько существует способов распределения премий, если:
Задание 7. В ящике лежат бусины $2$ различных цветов. Сколько различных ожерелий из $4$ бусин можно создать, если бусины одного цвета внешне неотличимы? Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 8. В ящике лежат бусины $2$ различных цветов. Сколько различных ожерелий из $4$ бусин можно создать, если бусины одного цвета внешне неотличимы, но бусины имеют попарно различные размеры и различныеформы? Попробуйте решить задачу непосредственным перебором, а также решите вторым способом, используя комбинаторные правила.
Задание 9. В аэропорту есть движущаяся дорожка длиной 120 м, которая движется со скоростью 2 км/ч. Миша и Маша ступают на нее одновременно, только Маша спокойно стоит, а Миша идет по дорожке со скоростью 3 км/ч. Каким будет расстояние между ребятами в момент, когда Миша сойдет с дорожки?
Задание 10. Известно, что среди тех, кто однажды заказал в кафе «Ягодка» мороженое с клубникой, 60% заказывают его снова. За год из 45 тыс. посетителей 18 тыс. заказывали мороженое с клубникой два или более раз. Какой процент посетителей ни разу не заказывал себе мороженое с клубникой? Округлите результат до целого числа процентов.
Задание 11. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) серединные перпендикуляры к сторонам \(BA\) и \(BC\) пересекают основание \(AC\) в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Найдите длину отрезка \(PQ\), если \( \angle B = 120^\circ \), \( AC = 21 \).
Задание 12. В равенстве \((x + \ast)(\ast x + 5) = (2x + \ast)(x + \ast)\) Вася заменил звёздочки различными числами так, что оно превратилось в тождество. Какое число он написал на месте последней звёздочки?
Задание 13. На основании \(AB\) равнобедренного треугольника \(ABC\) выбрана точка \(K\) так, что \(BK = BC\). Из точки \(K\) опустили перпендикуляр на сторону \(BC\), который поделил треугольник \(ABC\) на две части. У какой из частей (треугольной или четырёхугольной) периметр больше?
Задание 14. Треугольник \(ABC\) остроугольный. Угол \(A\) в два раза меньше угла \(C\). \(BD\) - высота. Докажите, что \(AD = BC + CD\).
Задание 15. Докажите, что сумма любых трёх последовательных степеней четвёрки делится на \(28\).
Задание 16. Лиственницы составляют \(99\%\) всего леса. В лесу собирались вырубать только лиственницы и обещали в итоге оставить лиственниц \(90\%\) от всего леса. Но жители деревни договорились, чтобы лиственниц осталось \(95\%\) от всего леса. Сколько процентов лиственниц удалось спасти?
Задание 17. Прямоугольник разрезан на другие прямоугольники. Периметры этих прямоугольников – целые числа. Обязательно ли периметр большого прямоугольника – целое число?
Задание 18. Сторона квадрата на семь меньше одной из сторон прямоугольника и на четыре больше другой стороны прямоугольника. Найдите площадь квадрата, если она на \(2\) см2 меньше площади прямоугольника.