Задание 1. Есть одна золотая, \( 3 \) серебряные и \( 5 \) бронзовых монет (монеты из разного металла отличаются по виду друг от друга). Известно, что одна из них фальшивая (весит легче настоящей). Настоящие монеты из одного металла весят одинаково, а из различных – нет. Как за два взвешивания найти фальшивую монету?
Задание 2. Есть \( 27 \) монет, часть из них серебряные, остальные – медные (монеты из разного металла отличаются по виду друг от друга). Известно, что одна из них фальшивая, а остальные настоящие (настоящая серебряная отличается по весу от настоящей медной). Фальшивая монета легче настоящей монеты из того же металла. Как найти фальшивую монету за три взвешивания?
Задание 3. Четырьмя гирями продавец может взвесить любое целое число килограммов, от \( 1 \) до \( 40 \) включительно (гири можно ставить на обе чашки весов).
Задание 4. Есть \( 10 \) мешков с монетами. Один из них целиком заполнен фальшивыми монетами, которые на один грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, определите фальшивый мешок.
Задание 5. Есть \( 10 \) мешков, некоторые из которых целиком заполнены фальшивыми монетами, а все остальные – настоящие. Фальшивая монета на \( 1 \) грамм легче настоящей. Про один из мешков точно известно, что он заполнен настоящими монетами. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, определите все фальшивые мешки.
Задание 6. На острове живут красные, синие и зелёные хамелеоны. 35 хамелеонов встали в круг. Через минуту все они одновременно поменяли цвет, каждый на цвет одного из своих соседей. Ещё через минуту снова все одновременно поменяли цвета на цвет одного из своих соседей. Могло ли оказаться, что каждый хамелеон побывал и красным, и синим, и зелёным?
Задание 1. По окружности расставлено \( 20 \) целых чисел, сумма которых равна \( 1 \). Сколькими способами можно выбрать из них \( 10 \) стоящих подряд чисел с положительной суммой?
Задание 2. Для любых чисел \( a \) и \( b \) операция \( a \otimes b \) определена следующим образом: \( a \otimes b = a^2 - b^2 \). Вычислите: \((2011 \otimes 2010) \otimes (2010 \otimes 2009)\).
Задание 3. За один ход можно выбрать произвольный квадрат \( 2 \times 2 \) на доске \( 4 \times 4 \) с шахматной раскраской и изменить цвет каждой клетки этого квадрата на противоположный. Можно ли за несколько ходов сделать так, чтобы все клетки доски оказались одного цвета?
Задание 4. Прямоугольник разбили двумя прямыми, параллельными его сторонам, на четыре прямоугольника. Один из них оказался квадратом, а периметры прямоугольников, соседних с ним, равны \( 20 \) см и \( 16 \) см. Найдите площадь исходного прямоугольника.
Задание 5. Известно, что Толя поймал рыб больше, чем Коля, а Петя и Вася вместе поймали рыб столько же, сколько Коля и Толя вместе. Кроме того, Толя и Петя вместе поймали меньше, чем Вася и Коля. Кто из них поймал больше всех рыб, а кто – меньше всех?
Задание 6. В прямоугольнике \( ABCD \) точка \( P \) – середина стороны \( AB \), а точка \( Q \) – основание перпендикуляра, опущенного из вершины \( C \) на \( PD \). Докажите, что \( BQ = BC \).
Задание 7. Существует ли четырёхзначное число, сумма цифр которого в \( 25 \) раз меньше их произведения?
Задание 8. На сторонах \( AB \) и \( BC \) равностороннего треугольника \( ABC \) отмечены точки \( D \) и \( K \) соответственно, а на стороне \( AC \) отмечены точки \( E \) и \( M \) так, что \( DA + AE = KC + CM = AB \). Отрезки \( DM \) и \( KE \) пересекаются. Найдите угол между ними.