1. Имеются две свечи разной длины и толщины. Отношение длин свечей равно \(12 : 25\), при этом длинная свеча полностью сгорает за \(5\) часов, а короткая за \(4\) часа. Обе свечи зажгли одновременно. Через какое время горящие свечи окажутся одинаковой длины? (Каждая из свечей горит с постоянной скоростью.)
2. Для натурального числа \( n \) обозначим через \( S(n) \) сумму цифр числа \( n \). Найдите все решения уравнения \( n + S(n) = 2024 \)
3. Нужно доделать. У вас есть аналоговые часы с секундной стрелкой. Сколько раз в день все три стрелки часов накладываются друг на друга? Укажите точное время совпадения стрелок (лучше проверить на часах).
4. Нужно доделать. От двух кусков, весящих соответственно 12 кг и 8 кг, с процентным содержанием олова \( p\% \) и \( q\% \) соответственно (\( p > q \)), отрезали по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание олова в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
5. (7 баллов) Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону едет на самокате и встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но в обратном направлении?
6. (7 баллов) На доске написано число 49. За один ход разрешается либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 50?
7. (7 баллов) Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие это свойство.
8. (7 баллов) Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали следующее:
Андрей: Владимир сильнее меня.
Борис: Я умнее Владимира.
Владимир: Борис умнее меня.
Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный соврал и среди них нет двух людей, равных по силе. Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый? Обоснуйте свой ответ.
9. Нужно доделать. Докажите, что
\[ \frac{1}{1\cdot199} + \frac{1}{3\cdot197} + \frac{1}{5\cdot195} + \dots + \frac{1}{197\cdot3} + \frac{1}{199\cdot1} = \frac{1}{100} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{199} \right) \]
Нужно воспользоваться тем фактом, что если нужно доказать, что \(a=b\), то достаточно проверить - чему будет равна разность \(a-b\), если она равна нулю, то Вы уже все доказали. Доказать тот факт, что разность равна нулю, можно используя тот вариант перегруппировки, который я показал на занятии.