Новая подборка для Летово

Задание 1. За одно нажатие красной кнопки на калькуляторе можно число на экране увеличить на его дробную часть (например, из числа \(0.21\) получить \(0.21 + 0.21 = 0.42\), а из числа \(2.71\) получить \(2.71 + 0.71 = 3.42\)).

1. Какое число нужно ввести, чтобы за два нажатия красной кнопки на экране калькулятора получилось ровно \(5\)?
2. Начав с числа, большего нуля и меньшего единицы, за три нажатия красной кнопки получили число \(3\). С какого числа начали? Дайте развернутое пояснение.
3. Найдите все такие положительные числа, что после трех нажатий красной кнопки на экране калькулятора получится число \(3\).

Задание 2. Александр решил перемножить \(n\) первых простых чисел. К произведению он добавил \(3\). Делится ли полученное число на какое-то из \(n\) простых чисел?

Задание 3. Отметьте на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих равенству \(\dfrac{xy + x - y - 4}{x^2 - 4} = 1\).

Задание 4. Семь мальчиков и пять девочек пошли в лес за грибами. Все мальчики собрали по \(p\) грибов, а девочки по \(q\) грибов, причем оказалось, что числа \(p\) и \(q\) простые, а в сумме ребята собрали \(123\) гриба. Чему равняются \(p\) и \(q\)? Найдите все возможные варианты, если они есть.

Задание 5. Петя ошибся, записывая десятичную дробь: цифры записал верно, а запятую сдвинул на одну позицию. В результате получилось число, которое меньше нужного на \(19.71\). Какое число должен был записать Петя?

Задание 6. На скотном дворе живут шесть животных. Лошадь съедает копну сена за \(1.5\) дня, бык – за \(2\) дня, корова – за \(3\) дня, теленок – за \(4\) дня, баран – за \(6\) дней, а коза – за \(12\) дней. Объясните, каким образом можно разбить данных животных на две группы так, чтобы этим группам хватало одной копны сена на одно и то же время.

Задание 7. Вася загадал двузначное число, а затем приписал к нему слева цифру \(1\), а справа – цифру \(8\), отчего число увеличилось в \(28\) раз. Какое число мог загадать Вася? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Задание 8. В классе за каждой партой сидит два ученика. Парт, за которыми сидят два мальчиков, вдвое больше, чем парт, за которыми сидят две девочки. А парт, за которыми сидят две девочки, вдвое больше, чем парт, за которыми сидит мальчик с девочкой. Сколько в классе мальчиков, если известно, что там \(10\) девочек?

Задание 9. На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на \(9\). Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на \(3\)?

Задание 10. На клетчатой бумаге отмечены точки A, B, C, D, E, как на рисунке справа. Докажите, что \(\angle ACB = \angle DCE\).