Задание 1. К некоторому натуральному числу прибавили удвоенную сумму его цифр. Могло ли получиться число 2024?
Задание 2. Однажды 91 участник летнего лагеря решили сходить в кино. Прошлым летом они бы поместились в 8 рядов кинозала (но не в 7). Однако этим летом каждое четвёртое кресло (то есть каждое кресло, номер которого в ряду делится на 4) должно оставаться пустым, поэтому один участник не поместился в кинозале. Сколько рядов в зале и сколько кресел в каждом из них, если во всех рядах поровну мест?
Задание 3. Вершину A прямоугольника ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Мог ли один из этих отрезков оказаться вдвое длиннее другого?
Задание 4. В комнате находятся несколько рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждому дали листок бумаги и попросили написать про каждого из остальных, кем он является: лжецом или рыцарем. Когда собрали все листы и произвели подсчёты, то записей «лжец» оказалось 40, а записей «рыцарь» – 32. Сколько в комнате рыцарей, если известно, что их больше, чем лжецов?
Задание 5. На какую цифру нужно заменить * так, чтобы разность 98765 – 4321* была кратна 12?
Задание 6. Каждый цветок на поляне цветет ровно 30 дней. Известно, что каждый день пять цветков увядают, а взамен распускаются пять новых. Сколько цветущих цветков на поляне?
Задание 7. В десяти лунках, расположенных по кругу, лежат 55 камней. В любых двух лунках разное количество камней и пустых лунок нет. Докажите, что найдутся три лунки, стоящие подряд, в которых в сумме меньше, чем 16 камней.
Задание 8. В семье шестеро детей. Пятеро из них старше самого младшего на 2, 6, 8, 12 и 14 лет соответственно. Сколько лет младшему, если возрасты всех детей – простые числа?
Задание 9. Про числа \( a \), \( b \) и \( c \) известно, что \( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 = (a + b + c)^2 \). Какие значения могут принимать \( a \), \( b \) и \( c \)?
Задание 10. Найдите разность между наибольшим и наименьшим трехзначными числами, у каждого из которых совпадают частное и остаток при делении на 51.
Задание 11. При каком натуральном значении \( n \) значение выражения \( \displaystyle\dfrac{3n + 7}{3n - 7} \) будет наименьшим?
Задание 12. На стороне \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \) (\( AB = AC \)) отметили точку \( E \). На отрезке \( AE \) отложили отрезок \( ED = BE \). Найдите угол \( \angle DBC \), если известно, что \( \angle DBA = \angle CBE \).
Задание 13. Какое наибольшее количество месяцев, содержащих по пять пятниц, может быть в одном году?