Задание 1. Про числа \( a \), \( b \) и \( c \) известно, что \( (a + b)^2 + (b + c)^2 + (a + c)^2 = (a + b + c)^2 \). Какие значения могут принимать \( a \), \( b \) и \( c \)?
Задание 2. Найдите разность между наибольшим и наименьшим трехзначными числами, у каждого из которых совпадают частное и остаток при делении на 51.
Задание 3. При каком натуральном значении \( n \) значение выражения \( \displaystyle\dfrac{3n + 7}{3n - 7} \) будет наименьшим?
Подсказка: Попробуйте добавить и вычесть какое-то число в числителе таким образом, чтобы выражение можно было переписать в виде суммы некоторого целого числа и дроби, числитель которой не содержит \(n\).
Задание 4. На стороне \( AC \) равнобедренного треугольника \( ABC \) (\( AB = AC \)) отметили точку \( E \). На отрезке \( AE \) отложили отрезок \( ED = BE \). Найдите угол \( \angle DBC \), если известно, что \( \angle DBA = \angle CBE \).
Задание 5. Какое наибольшее количество месяцев, содержащих по пять пятниц, может быть в одном году?
Задание 6. (с подсказками ниже) В десяти лунках, расположенных по кругу, лежат 55 камней. В любых двух лунках разное количество камней и пустых лунок нет. Докажите, что найдутся три лунки, стоящие подряд, в которых в сумме меньше, чем 16 камней.
Подсказка 1: Попробуйте в каждую из лунок положить как можно меньше камней (но различное кол-во).
Подсказка 2: Попробуйте временно отложить отдельно лунку с наибольшим количеством камней, остальные лунки разбить на 3 группы по 3 соседних лунки (группы не должны пересекаться). Сколько камней во всех трех группах? Сколько в каждой из групп (минимум)?
Задание 7. Все участники летнего лагеря решили сходить в кино (181 человек). Прошлым летом они бы поместились в 11 рядов кинозала (но не в 10). Однако этим летом каждое шестое кресло (то есть каждое кресло, номер которого в ряду делится на 6) должно оставаться пустым, поэтому один участник не поместился в кинозале. Сколько рядов в зале и сколько кресел в каждом из них, если во всех рядах поровну мест?
Задание 8. Каждый цветок на поляне цветет ровно 60 дней. Известно, что каждый день 7 цветков увядают, а взамен распускаются 7 новых. Сколько цветущих цветков на поляне?