Для каждого задания сначала приведено полное условие, затем — последовательное решение. В заданиях второй части оцениваются и ответ, и математически обоснованные записи.
Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.
Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, \(195/65\,\mathrm{R}15\). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер \(B\) на рис. 2). Второе число — высота боковины шины \(H\) в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой \(195/65\,\mathrm{R}15\) имеет ширину \(B=195\) мм и высоту боковины
\[H=195\cdot0{,}65=126{,}75\text{ мм}.\]
Буква \(\mathrm{R}\) означает, что шина имеет радиальную конструкцию, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. Такие шины применяются на всех легковых автомобилях. За буквой \(\mathrm{R}\) следует диаметр диска \(d\) в дюймах; в одном дюйме \(25{,}4\) мм. Таким образом, общий диаметр колеса \(D\) можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами \(215/65\,\mathrm{R}16\).
Рис. 1. Маркировка шиныРис. 2. Размеры колеса
Решение
Во всех вычислениях будем использовать сначала общие формулы, а затем подставлять числа:
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами \(225/65\,\mathrm{R}16\)? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот — это длина окружности колеса:
\[L=\pi D.\]
Следовательно, процентное изменение пробега равно процентному изменению диаметра, так как множитель \(\pi\) сокращается:
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: \(4\) с мясом, \(8\) с капустой и \(3\) с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Решение
Всего на тарелке \(4+8+3=15\) пирожков. Благоприятных исходов \(3\), поэтому
\[P=\frac3{15}=\frac15=0{,}2.\]
Ответ: \(0{,}2\).
11
Соответствие графиков и формул
Условие
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы:
\(1)\ y=x^2\)
\(2)\ y=\dfrac{x}{2}\)
\(3)\ y=\dfrac{2}{x}\)
В ответ запишите последовательность номеров формул для графиков А, Б, В.
Решение
График А — парабола \(y=x^2\), поэтому ему соответствует формула \(1\). График Б — гипербола \(y=\dfrac2x\), формула \(3\). График В — прямая \(y=\dfrac{x}{2}\), формула \(2\). Записываем номера в порядке А, Б, В.
Ответ: \(132\).
12
Перевод температуры
Условие
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой \(t_F=1{,}8t_C+32\), где \(t_C\) — температура в градусах Цельсия, \(t_F\) — температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует \(-25\) градусов по шкале Цельсия?
Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала \(30\) приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За \(15\) дней она сделала всего \(975\) приседаний. Сколько приседаний сделала Вика на пятый день?
Решение
Число приседаний образует арифметическую прогрессию: \(a_1=30\), \(n=15\), \(S_{15}=975\). Используем формулу суммы:
\[975=\frac{15}{2}\bigl(2\cdot30+14d\bigr).\]
\[130=60+14d,\qquad d=5.\]
На пятый день:
\[a_5=a_1+4d=30+4\cdot5=50.\]
Ответ: \(50\).
15
Угол равнобедренного треугольника
Условие
В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) внешний угол при вершине \(C\) равен \(123^\circ\). Найдите величину угла \(BAC\). Ответ дайте в градусах.
Решение
Внутренний угол при вершине \(C\) смежен с внешним углом:
\[\angle C=180^\circ-123^\circ=57^\circ.\]
Треугольник равнобедренный с основанием \(AC\), поэтому углы при основании равны: \(\angle BAC=\angle C=57^\circ\).
Ответ: \(57\).
16
Хорда окружности
Условие
Найдите длину хорды окружности радиусом \(13\), если расстояние от центра окружности до хорды равно \(5\).
Решение
Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Половина хорды является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой \(13\) и вторым катетом \(5\):
\[\frac l2=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.\]
Следовательно, \(l=2\cdot12=24\).
Ответ: \(24\).
17
Площадь трапеции
Условие
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Решение
Нижнее основание равно \(9+12=21\), верхнее основание равно \(7\), высота равна \(12\). Тогда
\[S=\frac{7+21}{2}\cdot12=14\cdot12=168.\]
Ответ: \(168\).
18
Тангенс угла
Условие
Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.
Решение
При движении вдоль наклонного луча на \(2\) клетки вправо происходит подъём на \(4\) клетки. Поэтому
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{2}=2.\]
Ответ: \(2\).
19
Верные геометрические утверждения
Условие
Какие из следующих утверждений верны?
1.Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2.Треугольник со сторонами \(1\), \(2\) и \(4\) существует.
3.В любом параллелограмме есть два равных угла.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
Утверждение \(1\) верно. Утверждение \(2\) неверно, так как \(1+2<4\), поэтому неравенство треугольника не выполняется. Утверждение \(3\) верно: противоположные углы параллелограмма равны.
Ответ: \(13\).
20
Уравнение четвёртой степени
Условие
Решите уравнение
\[x^4=(4x-5)^2.\]
Решение
Перенесём правую часть влево и применим формулу разности квадратов:
\[x^4-(4x-5)^2=0,\]
\[\bigl(x^2-4x+5\bigr)\bigl(x^2+4x-5\bigr)=0.\]
Уравнение \(x^2-4x+5=0\) не имеет действительных корней, поскольку
\[D=16-20=-4<0.\]
Для второго квадратного уравнения:
\[x^2+4x-5=0,\qquad D=36,\]
\[x=\frac{-4\pm6}{2},\qquad x_1=-5,\quad x_2=1.\]
Ответ: \(-5;\ 1\).
В интерактивном тесте вводится сумма корней: \(-5+1=-4\).
21
Движение по реке
Условие
Рыболов в \(5\) часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, \(2\) часа ловил рыбу и вернулся обратно в \(10\) часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна \(2\) км/ч, а собственная скорость лодки равна \(6\) км/ч?
Решение
Скорость лодки против течения равна \(6-2=4\) км/ч, а по течению — \(6+2=8\) км/ч. С \(5\) до \(10\) часов прошло \(5\) часов, из них \(2\) часа рыболов стоял на якоре. Значит, суммарное время движения равно \(3\) часам.
Пусть расстояние от пристани до места рыбалки равно \(x\) км. Тогда
\[\frac{x}{4}+\frac{x}{8}=3.\]
Умножим обе части на \(8\):
\[2x+x=24,\qquad x=8.\]
Ответ: \(8\) км.
22
График дробно-рациональной функции
Условие
Постройте график функции
\[y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}\]
и определите, при каких значениях \(c\) прямая \(y=c\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
\[CK=\frac12AB=\frac{10}{2}=5.\]
Ответ: \(5\).
24
Доказательство о параллелограмме
Условие
В параллелограмме \(ABCD\) точка \(E\) — середина стороны \(AB\). Известно, что \(EC=ED\). Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение
Рассмотрим треугольники \(BEC\) и \(AED\). Для них:
\(BE=AE\), так как \(E\) — середина стороны \(AB\);
\(EC=ED\) по условию;
\(BC=AD\) как противоположные стороны параллелограмма.
Следовательно, треугольники \(BEC\) и \(AED\) равны по трём сторонам. Поэтому
\[\angle CBE=\angle DAE.\]
Точки \(A\), \(E\), \(B\) лежат на одной прямой, поэтому эти углы являются соседними углами параллелограмма. Их сумма равна \(180^\circ\). Равные углы с суммой \(180^\circ\) равны \(90^\circ\).
Значит, параллелограмм \(ABCD\) имеет прямой угол и поэтому является прямоугольником.
Доказано.
25
Две касающиеся окружности
Условие
Основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равно \(12\). Окружность радиусом \(8\) с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания \(AC\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
Решение
Пусть \(O\) — центр данной окружности радиуса \(8\), \(Q\) — центр вписанной окружности, а \(M\) — общая точка касания обеих окружностей с основанием \(AC\).
В силу симметрии равнобедренного треугольника точка \(M\) делит основание пополам:
\[AM=\frac{AC}{2}=6.\]
Лучи \(AQ\) и \(AO\) являются биссектрисами смежных углов при вершине \(A\), поэтому \(\angle QAO=90^\circ\). Точки \(Q\), \(M\), \(O\) лежат на одной прямой и \(AM\perp QO\). Следовательно, \(AM\) — высота прямоугольного треугольника \(QAO\), опущенная на гипотенузу.
По свойству высоты, проведённой к гипотенузе:
\[AM^2=QM\cdot MO.\]
Здесь \(MO=8\), а \(QM=r\) — радиус вписанной окружности. Поэтому
К геометрическим относятся задания 15–19 и 23–25. Итоговая отметка в тесте точна только при условии, что развёрнутые решения заданий 20–25 выполнены полностью и корректно, а самооценка выставлена честно. Открыть отдельную шкалу ОГЭ.
Сводка ответов
№
Ответ
Макс.
№
Ответ
Макс.
1
\(235\)
1
14
\(50\)
1
2
\(192{,}5\)
1
15
\(57\)
1
3
\(6{,}3\)
1
16
\(24\)
1
4
\(685{,}9\)
1
17
\(168\)
1
5
\(1{,}9\)
1
18
\(2\)
1
6
\(0{,}32\)
1
19
\(13\)
1
7
\(2\)
1
20
\(-5;\ 1\) в тесте: \(-4\)
2
8
\(125\)
1
21
\(8\)
2
9
\(3\)
1
22
\(-6{,}25;\ -4;\ 6\) в тесте: \(-4{,}3\)
2
10
\(0{,}2\)
1
23
\(5\)
2
11
\(132\)
1
24
доказательство
2
12
\(-13\)
1
25
\(4{,}5\)
2
13
\(2\)
1
Максимум: 31 балл
Первый шаг
Запишитесь на бесплатное ознакомительное занятие
За 15 минут разберём результат, если тест уже пройден, определим ближайшие приоритеты, а я покажу онлайн-доску и то, как проходит полноценное занятие.
