Параметры №4.

Задание 1. При всех \( a \) решите уравнения:

• а) \( 4ax - 7a = 4x + 1 \)
• б) \( x \cos^2 (4a) + \sin^2 (4a) = 1 \)

Важное указание ко всем остальным заданиям: Во всех следующих заданиях требуется только составить систему из условий, которые позволят получить ответ и соответствующие графические иллюстрации. Но до конца решение доводить не нужно. Далее будет образец, в котором показано -- что нужно записать, а что не нужно.

Образец: Найти все \( a \), при которых один корень уравнения \( x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0 \) заключен в промежутке \([2; 4)\), а другой удовлетворяет неравенству \( x \leq -3 \).

Решение: Нарисуем соответствующие условию задачи возможные расположения параболы \( y = x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 \).

Чтобы парабола соотвествовала одной из трех возможных ситуаций, необоходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

$\begin{cases} f(-3) = (-3)^2 - 2(a + 1)(-3) + 9a - 5 \leqslant 0 \\ f(2) = 2^2 - 2(a + 1) \cdot 2 + 9a - 5 \leqslant 0 \\ f(4) = 4^2 - 2(a + 1) \cdot 4 + 9a - 5 > 0 \end{cases}$

Далее решать эту систему не нужно. Таким же способом решите задачи со второй по 12-ую.

Задание 2. При каких \( m \) один из корней уравнения \( x^2 - (2m + 1)x + m^2 + m - 2 = 0 \) находится между числами \( 1 \) и \( 3 \), а второй между числами \( 4 \) и \( 6 \)?

Задание 3. При каких \( k \) корни уравнения \( k x^2 - (k + 1)x + 2 = 0 \) будут по модулю меньше \( 1 \)?

Задание 4. При каких \( m \) корни уравнения \( mx^2 - 2(m - 1)x + 3m - 2 = 0 \) отрицательны?

Задание 5. При каких \( a \) уравнение \( (2 - x)(x + 1) = a \) имеет положительные корни?

Задание 6. При каких \( m \) корни уравнения \( x^2 + 2x + m = 0 \) больше \( m \)?

Задание 7. При каких \( m \) один из корней уравнения \( (m^2 - 1)x^2 + (6m - 1)x - m^4 = 0 \) меньше \( m \), а другой больше \( m \)?

Задание 8. Найти все значения \( a \), при которых хотя бы один корень уравнения \( x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0 \) больше \( 1 \).

Задание 9. Найти все значения параметра \( a \), при которых неравенство \( (a - 3)x^2 - 2ax + 3a - 6 \geq 0 \) выполняется:

• а) при всех значениях \( x \);
• б) только при одном значении \( x \);
• в) хотя бы при одном значении \( x \);
• г) ни при каком значении \( x \) неравенство не выполняется.

Задание 10. Найти все значения \( a \), при которых неравенство \( x^2 + 2(a + 1)x + 3a + 13 > 0 \) выполняется для любых \( x \leq -1 \).

Задание 11. При каких значениях \( a \) неравенство \( t^2 + 2(2a + 1)t + 4a^2 - 3 > 0 \) выполняется для всех \( t > 0 \)?

Задание 12. Найти все \( a \), при которых неравенство \( x^2 - 2ax - a^2 + a + 6 < 0 \) выполняется при всех \( x \) из промежутка \([0; 2]\).