Задание 1. Решите неравенство: $ 28^{x} - 8^{x} - 16 \cdot 14^{x} + 4^{x + 2} + 64 \cdot 7^{x} - 2^{x + 6} \leq 0 $
Задание 2. Решите неравенство: $ \dfrac{16}{(3^{2 - x^2} - 1)^2} - \dfrac{10}{3^{2 - x^2} - 1} + 1 \geq 0 $
Задание 3. Решите неравенство: $ \dfrac{12^{x} - 16 \cdot 3^{x} - 3 \cdot 4^{x} + 48}{6x - x^{2} - 5} \geq 0 $
Задание 4. Решите неравенство: $ \left( \log_{2}^{2}x - 2\log_{2}x \right)^2 + 22\log_{2}x + 24 < 11\log_{2}^{2}x $
Важное указание ко всем остальным заданиям: Во всех следующих заданиях требуется только составить систему из условий, которые позволят получить ответ и соответствующие графические иллюстрации. Но до конца решение доводить не нужно. Далее будет образец, в котором показано -- что нужно записать, а что не нужно.
Образец: Найти все \( a \), при которых один корень уравнения \( x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0 \) заключен в промежутке \([2; 4)\), а другой удовлетворяет неравенству \( x \leq -3 \).
Решение: Нарисуем соответствующие условию задачи возможные расположения параболы \( y = x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 \).
Чтобы парабола соотвествовала одной из трех возможных ситуаций, необоходимо, чтобы были выполнены следующие условия:
$\begin{cases} f(-3) = (-3)^2 - 2(a + 1)(-3) + 9a - 5 \leqslant 0 \\ f(2) = 2^2 - 2(a + 1) \cdot 2 + 9a - 5 \leqslant 0 \\ f(4) = 4^2 - 2(a + 1) \cdot 4 + 9a - 5 > 0 \end{cases}$
Далее решать эту систему не нужно. Таким же способом решите задачи со 5 по 12-ую.
Задание 5. Нужно помнить про расположение ветвей параболы. Они направлены вверх или вниз? При каких \( a \) один из корней уравнения \( -x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a - 2 = 0 \) находится между числами \( 1 \) и \( 3 \), а второй между числами \( 4 \) и \( 6 \)?
Задание 6. Нужно помнить про расположение ветвей параболы. Они направлены вверх или вниз? При каких \( k \) корни уравнения \( (k+3) x^2 - (k + 1)x + 2 = 0 \) будут по модулю меньше \( 1 \)?
Задание 7. Нужно помнить про расположение ветвей параболы. Они направлены вверх или вниз? При каких \( m \) корни уравнения \( (1-m))x^2 - 2(m - 1)x + 3m - 2 = 0 \) отрицательны?
Задание 8. Нужно помнить про расположение ветвей параболы. Они направлены вверх или вниз? При каких \( a \) уравнение \( (2 - x)(x + 1) = a \) имеет корни разных знаков?
Задание 9. Нужно помнить про расположение ветвей параболы. Они направлены вверх или вниз? При каких \( m \) корни уравнения \( -x^2 + 2x + m = 0 \) больше \( m \)?
Задание 10. При каких \( m \) один из корней уравнения \( (m^2 - 4)x^2 + (6m - 1)x - m^4 = 0 \) меньше \( 5m \), а другой больше \( 5m \)?
Задание 11. Найти все значения \( a \), при которых хотя бы один корень уравнения \( -x^2 - 2(a + 1)x + 9a - 5 = 0 \) больше \( 4 \).
Задание 12. Найти все значения параметра \( a \), при которых неравенство \( (a^2+1)x^2 - 2ax + 3a - 6 \geq 0 \) выполняется:
Задание 13. Найти все значения \( a \), при которых неравенство \( x^2 + 2(a + 1)x + 3a + 13 > 0 \) выполняется для любых \( x \leq -7 \).
Задание 14. При каких значениях \( a \) неравенство \( at^2 + 2(2a + 1)t + 4a^2 - 3 > 0 \) выполняется для всех \( t > 0 \)?
Задание 15. Найти все \( a \), при которых неравенство \( x^2 - 2ax - a^2 + a + 6 < 0 \) выполняется при всех \( x \) из промежутка \([0; 2]\).