Параметры, подборка №6.

Задание 1. Решите неравенство: \( \mathit{63\,}^\mathrm{x} - \mathit{27\,}^\mathrm{x} - \mathit{12\,}\cdot \mathit{21\,}^\mathrm{x} + \mathit{12\,} \cdot \mathit{9\,}^\mathrm{x} + \mathit{27\,} \cdot \mathit{7\,}^\mathrm{x} - \mathit{3\,}^{\mathrm{x} + \mathit{3\,}} \leqslant \mathit{0\,} \)

Задание 2. Решите неравенство: \(\left( \log_{2}{\mathrm{x}} - \mathit{2\,}\log_{2}{\mathrm{x}} \right)^\mathit{2\,} + \mathit{36\,}\log_{\mathit{2\,}}{\mathrm{x}} + \mathit{45\,} < \mathit{18\,}\log_{\mathit{2\,}}^{\mathit{2\,}}{\mathrm{x}} \)

Задание 3. Решите неравенство: \(\dfrac{\log_{2}{(\mathrm{x}^\mathit{2\,})} - \log_{3}{(\mathrm{x}^\mathit{2\,})}}{\log_{6}{(\mathit{2\,}\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{10\,}\mathrm{x} + \mathit{12{,}5\,})} + \mathit{1\,}} \geqslant \mathit{0\,} \)

Задание 4. Решите неравенство: \( \dfrac{\mathit{16\,}}{\left( \mathit{3\,}^{\mathit{2\,} - \mathrm{x}^\mathit{2\,}} - \mathit{1\,} \right)^\mathit{2\,}} - \dfrac{\mathit{10\,}}{\mathit{3\,}^{\mathit{2\,} - \mathrm{x}^\mathit{2\,}} - \mathit{1\,}} + \mathit{1\,} \geq \mathit{0\,} \)

Задание 5. При каких \( \mathrm{a} \) уравнение \( \mathit{25\,}^\mathrm{x} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,}) \cdot \mathit{5\,}^\mathrm{x} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} = \mathit{0\,} \) имеет два корня? Найдите эти корни.

Задание 6. При каких \( \mathrm{a} \) уравнение \( \lg^\mathit{2}{\sin^{\mathit{2}}{\mathit{3\,}\mathrm{x}}} + (\mathrm{a} + \mathit{1\,}) \log_{0,1}{\sin^{\mathit{2\,}}{\mathit{3\,}\mathrm{x}}} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} = \mathit{0\,} \) имеет решение? Найдите их.

Важное указание ко всем остальным заданиям: Во всех следующих заданиях требуется только составить систему из условий, которые позволят получить ответ и соответствующие графические иллюстрации. Но до конца решение доводить не нужно. Далее будет образец, в котором показано -- что нужно записать, а что не нужно.

Образец: Найти все \( \mathrm{a} \), при которых один корень уравнения \( \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,})\mathrm{x} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} = \mathit{0\,} \) заключен в промежутке \([\mathit{2\,}; \mathit{4\,})\), а другой удовлетворяет неравенству \( \mathrm{x} \leq -\mathit{3\,} \).

Решение: Нарисуем соответствующие условию задачи возможные расположения параболы \( y = \mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,})\mathrm{x} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} \).

Чтобы парабола соответствовала одной из трех возможных ситуаций, необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:

\(\begin{cases} f(-\mathit{3\,}) = (-\mathit{3\,})^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,})(-\mathit{3\,}) + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} \leqslant \mathit{0\,} \\ f(\mathit{2\,}) = \mathit{2\,}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,}) \cdot \mathit{2\,} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} \leqslant \mathit{0\,} \\ f(\mathit{4\,}) = \mathit{4\,}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,}) \cdot \mathit{4\,} + \mathit{9\,}\mathrm{а} - \mathit{5\,} > \mathit{0\,} \end{cases}\)

Далее решать эту систему не нужно. Таким же способом решите задачи со \(\mathit{7\,}\) по \(\mathit{15\,}\).

Задание 7. При каких \( \mathrm{m} \) корни уравнения \( -\mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{2\,}\mathrm{x} + \mathrm{m} = \mathit{0\,} \) меньше \( \mathrm{m} \)?

Задание 10. При каких \( \mathrm{m} \) один из корней уравнения \( (-\mathrm{m}^\mathit{2\,} - \mathit{9\,})\mathrm{x}^\mathit{2\,} + (\mathit{6\,}\mathrm{m} - \mathit{1\,})\mathrm{x} - \mathrm{m}^\mathit{4\,} = \mathit{0\,} \) меньше \( \mathit{4\,}\mathrm{m} \), а другой больше \( \mathit{4\,}\mathrm{m} \)?

Задание 11. Найти все значения \( \mathrm{а} \), при которых хотя бы один корень уравнения \( -\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}(\mathrm{a} + \mathit{1\,})\mathrm{x} + \mathit{9\,}\mathrm{a} - \mathit{5\,} = \mathit{0\,} \) больше \( \mathit{0\,} \).

Задание 12. Найти все значения параметра \( \mathrm{a} \), при которых неравенство \( (-\mathrm{a}^\mathit{2\,} - \mathit{1\,})\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}\mathrm{a}\mathrm{x} + \mathit{3\,}\mathrm{a} - \mathit{6\,} \geqslant \mathit{0\,} \) :

• а) Выполняется при всех значениях \( \mathrm{x} \);
• б) Выполняется только при одном значении \( \mathrm{x} \);
• в) Выполняется хотя бы при одном значении \( \mathrm{x} \);
• г) Ни при каком значении \( \mathrm{x} \) неравенство не выполняется.

Задание 13. Найти все значения \( \mathrm{а} \), при которых неравенство \( \mathrm{x}^\mathit{2\,} + \mathit{2\,}(\mathrm{а} + \mathit{1\,})\mathrm{x} + \mathit{3\,}\mathrm{а} + \mathit{13\,} > \mathit{0\,} \) выполняется для любых \( \mathrm{x} \leqslant -\mathit{7\,} \).

Задание 14. При каких значениях \( \mathrm{а} \) неравенство \( \mathrm{а}\mathrm{t}^\mathit{2\,} + \mathit{2\,}(\mathit{2\,}\mathrm{а} + \mathit{1\,})\mathrm{t} + \mathit{4\,}\mathrm{а}^\mathit{2\,} - \mathit{3\,} > \mathit{0\,} \) выполняется для всех \( \mathrm{t} > \mathit{0\,} \)?

Задание 15. Найти все \( \mathrm{a} \), при которых неравенство \( -\mathrm{x}^\mathit{2\,} - \mathit{2\,}\mathrm{а}\mathrm{x} - \mathrm{а}^\mathit{2\,} + \mathrm{а} + \mathit{6\,} < \mathit{0\,} \) выполняется при всех \( \mathrm{x} \) из промежутка \([\mathit{0\,}; \mathit{2\,}] \).